Квантовый газ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Вырожденный газ»)
Перейти к: навигация, поиск

Квантовый газ — газ, состоящий из (квази)частиц, де-бройлевская длина волны которых намного превышает их радиус взаимодействия.

Свойства квантового газа зависят от степени его вырождения, характеризующегося температурой вырождения. Температура вырождения T_0 зависит от плотности газа, T_0 \sim \frac{N^{(2/3)}}{mk}, N — концентрация частиц, m — масса частицы, k — постоянная Больцмана. При условии T \gg T_0 газ является невырожденным и распределение частиц по энергиям описывается распределением Больцмана. В случае T \ll T_0 газ попадает в область квантового вырождения и представляет собой, в зависимости от статистики частиц, вырожденный Ферми-газ (полуцелый спин, Статистика Ферми — Дирака) или Бозе-газ (целый спин, Статистика Бозе — Эйнштейна).

Модель квантового газа широко применяется для решения задач физики твердого тела (электронный газ в металлах), астрофизики (свойства белых карликов и нейтронных звезд), физики конденсированного состояния (сверхтекучесть).

Различают идеальный (пренебрежение взаимодействием частиц) и реальный квантовый газ.

Идеальный квантовый газ[править | править вики-текст]

Условием идеальности квантового газа является условие невзаимодействия между собой частиц, из которого он состоит. Благодаря тому, что нет взаимодействия можно считать, что заполнение того или иного квантового состояния системы не влияет на заполнение других состояний. В общем случае, если между частицами есть, например, кулоновское взаимодействие, то, чтобы приближение идеального газа давало хорошие результаты, необходимо считать его слабым. Это приводит к условию разреженности Na^3 \ll 1, где a — длина рассеяния частиц или, что то же самое, kT \ll \frac{\hbar^2}{ma^2}. Естественно полагать, что при T \gg T_0, где T_0 — температура вырождения, свойства квантового газа во многом не зависят от статистики составляющих его частиц и могут описываться статистикой Максвелла — Больцмана. В противном случае, начинают играть существенную роль квантовые эффекты, связанные с тем, к какому классу относятся частицы газа - к бозонам или фермионам, так как между ними есть принципиальное различие: сколь угодно большое количество бозонов может находится в одном квантовом состоянии, в то время как на одном квантовом состоянии может находится не более одного фермиона. Именно поэтому свойства Бозе- и Ферми-газа принципиально различны. Также, так как мы не можем точно регулировать число частиц в системе, то имеет смысл работать в терминах большого канонического ансамбля.

Тогда, в силу независимости состояний, статсумма идеального Бозе-Ферми газа задается формулой \Sigma =\prod _{\alpha} \Sigma _{\alpha}, где \Sigma_{\alpha} =(1 \pm e^{-(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)})^{\mp 1} — статсумма одноуровневой системы, суммирование происходит по всем уровням системы, верхние знаки соответствуют случаю Ферми-, нижние — Бозе-газа, \varepsilon _{\alpha } — одночастичный гамильтониан, \mu — химический потенциал газа.

Соответствующий этой статсумме термодинамический потенциал идеального квантового газа (большой термодинамический потенциал Гиббса):

\Omega =-kT\ln(\Sigma)=-AV\int \frac{d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\pm 1},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3},

где V — объем системы, h — постоянная Планка, g=2s+1 — вырождение по спину.

Среднее число частиц на уровне: <N_{\alpha}>=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}.

Можно еще больше унифицировать выражение для термодинамического потенциала, если заметить, что подынтегральная функция в случаях Ферми- и Бозе-газа отличается только знаком. Далее следует вынести из под интеграла все размерные параметры. Тогда термодинамический потенциал запишется в виде:

\Omega =-\overline AV(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad \overline A=A\Gamma (5/2).,

где была введена функция {G}_{k}(x) = \begin{cases}
  {F_{k}(x)}, Fermi-Dirac \\
  \zeta _{k+1}(e^x), Bose-Einstein
\end{cases},

С обозначениями:

  • Функция Ферми-Дирака: F_k(\eta )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int_0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\eta }+1}, для случая Ферми-газа


Тогда, используя простое соотношение \partial_{\eta}G_k(\eta)=G_{k-1}(\eta) и термодинамические соотношения Максвелла, можно получить различные термодинамические характеристики в общем виде:

Концентрация n=-\frac{1}{V}\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial \mu}\Biggl )_{T,V} \overline A(kT)^{3/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)}) Энтропия S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\partial \Omega}{\partial T}\Biggl )_{V,\mu }  \overline AVk^{5/2}\Bigg\{\frac 52T^{3/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac {\mu }kT^{1/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})\Bigg\}.
Давление p=-\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial V}\Biggl )_{T,\mu } \overline A(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}) Теплоемкость C_{V,N}=T\Biggr (\frac {\partial S }{\partial T}\Biggl )_{V,N} \overline AVk^{5/2}T^{3/2}\Bigg\{\frac{15}4{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac 94\frac {{G}^{2}_{1/2}({\mu}/{(kT)})}{{G}_{-1/2}({\mu}/{(kT)})}\Bigg\}.

Эти формулы продолжают работать и при низких, и при высоких температурах.

Вырожденный газ[править | править вики-текст]

Вырожденный газ — газ, на свойства которого существенно влияют квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. Вырождение наступает в условиях, когда расстояния между частицами газа становятся соизмеримыми с длиной волны де Бройля; в зависимости от спина частиц выделяются два типа вырожденных газов - ферми-газ, образованный фермионами (частицами с полуцелым спином) и бозе-газ, образованный бозонами (частицами с целым спином).

Условия вырождения[править | править вики-текст]

Влияние тождественности частиц становится существенным при уменьшении средних расстояний между ними до расстояний, соизмеримых с длиной волны де Бройля, ассоциированной с частицей, то есть выполняется условие:

 \! N^{ - 1/3} \sim r \sim \lambda
где \! N — объемная концентрация частиц,
\! \lambda = h/{\left(mv \right) } - длина волны де Бройля частиц массы \! m, движущихся со скоростью \! v.

Условия вырождения выполняются при достаточно низкой температуре \! T (для идеального газа \! v \sim \sqrt T) и высокой концентрации частиц \! N.

Вырождение Ферми- и Бозе-газов[править | править вики-текст]

Зависимость давления вырожденного ферми-газа от температуры, сохранению состояния вырождения соответствует горизонтальная ветвь.

Тип вырождения различен для частиц с полуцелым спином (фермионов, статистика Ферми — Дирака) и частиц с целым спином (бозонов, статистика Бозе — Эйнштейна), соответственно различаются и свойства ферми- и бозе-газов.

Если для Ферми-газа вследствие действия принципа Паули давление вырожденного газа выше давления идеального газа в тех же условиях, то для вырожденного Бозе-газа давление ниже давления идеального газа вследствие конденсации Бозе — Эйнштейна.

У ферми-газа (к которому относится электронный газ в металле) при полном вырождении (при \! T = 0K) заполнены все нижние энергетические уровни вплоть до некоторого максимального, называемого уровнем Ферми, а все последующие остаются пустыми. Повышение температуры лишь незначительно изменяет такое распределение электронов металла по уровням: малая доля электронов, находящихся на уровнях, близких к уровню Ферми, переходит на пустые уровни с большей энергией, освобождая таким образом уровни ниже фермиевского, с которых был совершен переход.

При вырождении газа бозонов из частиц с отличной от нуля массой (такими бозонами могут быть атомы и молекулы) некоторая доля частиц системы должна переходить в состояние с нулевым импульсом; это явление называется Бозе — Эйнштейновской конденсацией. Чем ближе температура к абсолютному нулю, тем больше частиц должно оказаться в этом состоянии. Однако, системы таких частиц при понижении температуры до очень низких значений переходят в твёрдое или жидкое (для гелия) состояния, к которым неприменимо приближение идеального газа.

Для газа из бозонов нулевой массы, к которым относятся фотоны, температура вырождения равна бесконечности; поэтому фотонный газ всегда вырожденный, и классическая статистика к нему не применима. Фотонный газ является единственным вырожденным идеальным бозе-газом стабильных частиц. Однако Бозе-Эйнштейновской конденсации в нём не происходит, так как не существует фотонов с нулевым импульсом (фотоны всегда движутся со скоростью света).

Явление вырождения Ферми-газов играет важную роль в эволюции звёзд: так, давление электронного вырожденного газа уравновешивает тяготение в белых карликах, а давление нейтронного вырожденного газа уравновешивает тяготение в нейтронных звёздах.

Ниже приведены основные формулы для обоих случаев вырождения.

Вырожденный Ферми-газ[править | править вики-текст]

Довольно важным случаем является рассмотрение Ферми-газа при достаточно низких температурах. Важным примером является электронный газ в металлах. Для этого газа температура вырождения оказывается порядка 10 000 К, следовательно, в металлах при комнатной температуре приближение вырожденного электронного газа работает хорошо. Стоит отметить, что в случае полупроводников данная модель переходит в модель Максвелла-Больцмана, благодаря расположению уровня Ферми внутри запрещенной зоны.

При T=0 подынтегральное выражение в формуле для функции {G}_{k} теряет непрерывность. Скачок функции происходит при энергии, равной \mu(T)|_{T=0} — энергии Ферми. Когда температура близка, но отлична от нуля, подынтегральное выражение можно разложить в ряд (по параметру kT) и интеграл принимает вид:

\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1}=\int _{0}^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon)+ (kT)^{2}\frac{\pi^2}{6}\phi '(\mu)+ O((kT)^{4}).

Подставляя это выражение в уравнения состояния и выражения для термодинамических характеристик, получаем (\alpha={\pi^2 \over 6}):

Концентрация n\approx A\Bigg(\mu ^{3/2}+\frac 34\alpha \frac{(kT)^{2}}{\sqrt{\mu }}\Bigg) Энтропия S(T,V,\mu)\approx 3\alpha \frac {AV}T\varepsilon_{F}^{1/2}(kT)^{2}
Давление p\approx \varepsilon_{F}^{5/2}\Bigg(\frac25+2\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}\Bigg) Теплоемкость C_{V,N}\approx 3\alpha AV\varepsilon _{F}^{1/2}k^{2}T.

Решая первое уравнение методом итераций находим выражение для химического потенциала и энергии Ферми:

\mu=\varepsilon _{F}\Bigg[1-\frac 12\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}+O\Bigg(\frac{k^{4}T^{4}}{\varepsilon_{F}^{4}}\Bigg)\Bigg],\qquad \varepsilon _{F}=\Bigg({3n \over 2A}\Bigg)^{2/3}.

Таким образом, при близкой к нулю температуре, идеальный Ферми-газ находится в основном состоянии, его частицы занимают все уровни энергии вплоть до \varepsilon _{F}, а все уровни выше \varepsilon _{F} свободны.

Необходимо отметить, что приближение идеального газа не описывает множество важных эффектов, таких как явление сверхпроводимости, сверхтекучести и т. д.

Вырожденный Бозе-газ[править | править вики-текст]

При понижении температуры или увеличении плотности Бозе-газа параметр a=e^{\mu/(kT)} \rightarrow 1, следовательно химический потенциал \mu \rightarrow 0 и обратится в нуль при конечных значениях n_0, T_0, связанных соотношением n_{0}(kT_{0})^{-3/2}/\overline A=\zeta _{3/2}(1)\approx 2.6. При этом заселенность нулевого уровня формально равно бесконечности, поэтому точка (n_0, T_0) называется точкой Бозе-конденсации. Явление Бозе-конденсации невозможно описать в рамках приближения идеального Бозе-газа, поэтому ограничимся описанием поведения Бозе-газа в окрестности точки Бозе-конденсации.

Асимптотикой функции \zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})=\frac 1{\Gamma(3/2)}\int _{0}^{\infty }\frac {dx x^{1/2}}{e^{x-\mu/(kT)}-1} при \mu\to0, T\to T_0 является

 \zeta _{3/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \frac {n_{0}}{\overline A(kT_{0})^{3/2}}+\frac {\pi}{\Gamma(3/2)}\sqrt {\frac{|\mu |}{kT}}+O(\frac {\mu }{kT}),

откуда при T=T_0 следует выражение для химического потенциала: \mu \approx \frac {\Gamma ^{2}(3/2)}{\pi^{2}\overline A^2(kT_{0})^{2}}\Bigg(\delta n-3n_{0}\frac{\delta T}{2T_{0}}\Bigg)^{2}, где \delta n, \quad \delta T — отклонения от точки Бозе-конденсации.

Для расчета энтропии и теплоемкости также понадобятся асимптотики функций \zeta_{1/2}(e^{\mu/(kT)}) и \zeta_{5/2}(e^{\mu/(kT)}), которые могут быть получены аналогично предыдущей и имеют вид:

\zeta _{5/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} +  O(\frac{\mu }{kT}),\quad \zeta _{1/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} \sqrt {\frac {kT}{|\mu |}} +O(1)


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.
  • Куни Ф. М. Статистическая физика.
  • Налимов М. Ю., Новожилова Т. Ю. Квантовые газы.