Динамика точки

Динамика точки — раздел динамики, изучающий причины изменения движения материальных точек, т.е. тел, характерными размерами которых на масштабах размеров задачи можно пренебречь.

Основные положения

• Свойства пространства: однородность, изотропность. Т.е. на процессы, происходящие в замкнутой системе не влияет её положение или ориентация.
• Принцип относительности: механические процессы, происходящие в различных инерциальных системах отсчёта (т.е. таких, в которых ускорение точки, действие сил на которую скомпенсировано, равно нулю) протекают одинаково. Существование хотя бы одной инерциальной системы отсчёта постулирует первый закон Ньютона.
• Принцип детерминированности: начальное состояние механической системы (совокупность положений и скоростей точек системы в какой-нибудь момент времени) однозначно определяет всё её движение. На математическом языке это означает, что закон движения ${\vec {r}}(t)$ однозначно определяется положением ${\vec {r}}(\tau )$ и скоростью ${\dot {\vec {r}}}(\tau )$ в некоторый момент времени $\tau$. Отсюда следует, что всякое движение определяется решением дифференциального уравнения ${\ddot {\vec {r}}}(t)={\vec {f}}\left(t,{\vec {r}}(t),{\dot {\vec {r}}}(t)\right)$, где вектор-функция ${\vec {f}}$ определяется из физических соображений.

Основные понятия

Масса

Инертная масса

Из повседневного опыта известно, что чем больше “масса” тела, тем труднее изменить характер его движения. Чтобы привести в движение более тяжёлое тело нужно приложить больше усилий, также тяжёлое тело труднее остановить. Формализуем понятие инертной массы, рассматривая изолированную механическую систему (систему, влиянием сторонних тел на которую можно пренебречь) в инерциальной системе отсчёта.

Опытным путём (см. закон сохранения импульса) было установлено, что для системы из двух взаимодействующих точек их скорости в различные моменты времени $t_{1},t_{2}$ связаны соотношением:

${\vec {v}}_{1}(t_{1})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{1})={\vec {v}}_{1}(t_{2})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$, где коэффициент $\mu _{12}$ не зависит ни от выбранных моментов времени, ни от скоростей.

В опытах на большее число тел оказалось, что $\mu _{12}={\frac {\mu _{32}}{\mu _{31}}}$. Так как $\mu _{12}$ не имеет отношения к третьему телу, то можно записать $\mu _{32}=m_{3}m_{2},\;\mu _{31}=m_{3}m_{1}$, откуда исходное выражение запишется

$m_{1}{\vec {v}}_{1}(t_{1})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{1})=m_{1}{\vec {v}}_{1}(t_{2})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$.

Отметим, что масса таким образом определена с точностью до константы (произвольного коэффициента $k$), что ребует введния эталона массы.

Гравитационная масса

Несмотря на данное выше определение массы, в обыденной жизни наиболее естественно дать другое определение массы. Для этого можно воспользоваться рычажными весами и эталоном массы. Такой способ определения массы основан том предположении, что сила тяжести действует одинаково на взвешиваемые на двух чашах весов массы. Поэтому определённая таким образом масса называется гравитационной.

Эксперименты (Галилей, Ньютон, Брагинский) показали, что гравитационная и инертная массы совпадают с очень большой точностью (до $10^{-12}$). Предположение об их тождественности привело к созданию общей теории относительности.

Импульс, сила

Введём понятия импульса материальной точки ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ равного произведению её массы на скорость. На основании приницпа детерминированности:

${\frac {dp}{dt}}=m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}(t,{\vec {r}}(t),{\dot {\vec {r}}}(t))$, где ${\vec {F}}$ называют силой, а само выражение — вторым законом Ньютона.

Обратное, вообще говоря ${\vec {p}}-{\vec {p}}_{0}=\int _{t_{0}}^{t}{\vec {F}}\,dt$, то есть приобретённый импульс зависит не только от силы, но и от времени воздействия.

В предположении справедливости принципа парного взаимодействия (т.е. такого, что действие двух материальных точек друг на друга не зависит от наличия других материальных точек), для замкнутой системы окажется справедливым закон сохранения импульса:

${\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}=const$,

откуда следует, что ${\vec {F}}_{ij}=-{\vec {F}}_{ji}$ (третий закон Ньютона, если добавить, что силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки). В том числе окажется справедливым принцип суперпозиции: действие многих сил равно действию одной силы (равнодействующей), равной векторной сумме действующих сил.

На основании закона сохранения импульса следует, что сумма внутренних сил замкнутой системы равна нулю. Для произвольной же системы: ${\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}$, где ${\vec {F}}$ — равнодействующая внешних сил (закон изменения импульса).

Для системы материальных точек удобно ввести понятие центра масс: ${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum _{i}{\vec {r}}_{i}m_{i}}{\sum _{i}m_{i}}},\;m_{c}=\sum _{i}m_{i}$, в терминах которого закон изменения импульса системы $\sum _{i}{\dot {\vec {p}}}_{i}={\vec {F}}\;\Leftrightarrow \;m_{c}{\ddot {\vec {r}}}_{c}={\vec {F}}$.

То есть центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе системы, а действующая сила — геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Наряду с центром масс часто часто оказывается удобным ввести приведённую массу.

Классификация сил

Основные силы (фундаментальные взаимодействия):

• Силы гравитационного притяжения
• Электромагнитные силы
• Силы сильного взаимодействия — взаимодействие между адронами и кварками. Действуют в масштабах порядка размера атомного ядра и менее
• Силы слабого взаимодействия — взаимодействие, ответственное, в частности, за процессы бета-распада атомных ядер и слабые распады элементарных частиц. Проявляются на расстояниях, значительно меньших размера атомного ядра

Производные виды сил:

• Силы упругости – реакции тела на изменение его формы
• Силы трения и сопротивления
  • Вязкое трение – трение между поверхностью твёрдого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой (или трение между различными слоями такой среды)
  • Сухое трение – трение между поверхностями двух соприкасающихся твёрдых тел. Если нет относительного движения, то сухое трение – это трение покоя или трение сцепления. При относительном движении – трение скольжения или трение качения

Энергия

Кинетическая энергия

Назовём элементарной работой силы ${\vec {F}}$ на перемещении $d{\vec {r}}$ выражение $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$, тогда на участке траектории $L$, работа составит

$A=\int _{L}{\vec {F}}\,d{\vec {r}}$.

Так как ${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}=m{\dot {\vec {v}}}$, то

$A=m\int _{L}{\vec {v}}\,d{\vec {v}}={\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_{{\vec {r}}_{2}}-{\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_{{\vec {r}}_{1}}$.

Выражение

$T={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2m}}$

назовём кинетической энергией.

Таким образом, работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки, что легко обобщить на случай системы материальных точек (закон изменения энергии).

Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета

Для абсолюнтой скорости ${\vec {v}}$, относительной ${\vec {u}}$ и переносной ${\vec {\mathrm {v} }}$:

$T=T'+{\frac {m\mathrm {v} ^{2}}{2}}+m\,{\vec {u}}\cdot {\vec {\mathrm {v} }}$

Где $T'$ — кинетическая энергия в относительной системе отсчёта.

Если связать относительную систему отсчёта с поступательным движеинем центра масс, то $T=T_{c}+{\frac {mv_{c}^{2}}{2}}$ (теорема Кёнига).

Потенциальная энергия

В случае, если сила представима в виде ${\vec {F}}({\vec {r}},t)=-\nabla U({\vec {r}},t)$, то силу называют потенциальной, а $U({\vec {r}},t)$ — потенциальной энергией. Если потенциальная сила не зависит от времени, её называют консервативной. Работу консервативной силы можно записать:

$A=-\int _{L}{\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial {\vec {r}}}}\,d{\vec {r}}=U({\vec {r}}_{1})-U({\vec {r}}_{2})$

Таким образом, можно ввести полную энергию $E=T+U$, которая для системы в поле консервативных сил будет сохраняться, т.е.

$T_{1}+U_{1}=T_{2}+U_{2}$ (закон сохранения энергии)

В общем случае, изменение энергии равно работе неконсервативных сил (закон изменения энергии)

Равновесие

Пусть материальная точка находилась в момент времени $\tau$ в некотором положении и ее скорость равнялась нулю. Если при этих начальных условиях точка продолжает оставаться в этом положении при $t>\tau$, то данная точка называется положением равновесия. В случае потенциальной силы, условием равновесия является $\nabla U=0$.

Если в положении равновесия потенциал силы имеет изолированный минимум, то такое положение равновесия устойчиво.

Теорема о вириале

Обозначим за $\langle f\rangle$ усреднение величины $f(t)$ за большой промежуток времени

$\langle f\rangle =\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\tau }^{\tau +T}f(t)\,dt$

Очевидно, если $f(t)={\dot {\varphi }}(t)$, то $\langle f\rangle =0$. На этом основании, если движение системы ограничено в пространстве, то справедлива теорема Клазиуса:

$\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\langle {\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {F}}_{i}\rangle$

Моменты

Определим момент силы относительно точки $O$ как ${\vec {M}}=[{\vec {r}}\times {\vec {F}}]$. Нетрудно показать, что он не зависит от точки приложения силы.

Момент импульса М.Т. относительно полюса $O$ определим как ${\vec {L}}=[{\vec {r}}\times {\vec {p}}]$.

Очевидно, ${\dot {\vec {L}}}={\vec {M}}$. В случае ${\vec {M}}=0$ следует ${\vec {L}}=const$ (закон сохранения момента импульса)

Приведённое верно и в обобщении для системы материальных точек, для которой среди прочего моменты внутренних сил взаиомоуничтожаются.

Секториальная скорость

Можно рассмотреть $d{\vec {S}}={\frac {1}{2}}[{\vec {r}}\times {\vec {v}}\,dt]$, имеющий смысл элементарной площади, заметаемой концом ${\vec {r}}$. Выражение ${\dot {\vec {S}}}$ называют секториальной скоростью.

Вообще говоря, ${\vec {L}}=2m{\dot {\vec {S}}}$.

Момент импульса в СО цетра масс

Нетрудно получить связь выражения для момента импульса в абсолютной системе отсчёта и системе отсчёта связанной с центром масс (если таковая инерциальна).

${\vec {L}}=m[{\vec {r}}_{c}\times {\vec {v}}_{c}]+{\vec {L}}_{c}$

Одномерное движение в потенциальном поле

Рассмотрим одномерное движение материальной точки $m{\ddot {x}}(t)=F(x)$. В силу закона сохранения энергии:

$T=E-U$, где полную энергию $E$ достаточно посчитать для определённого момента времени. Раскрывая кинетическую энергию:

${\frac {mv^{2}}{2}}=E-U\;\Rightarrow \;$$v=\pm {\sqrt {\frac {2(E-U)}{m}}}$, что приводит к уравнению с разделяющимися переменными:

${\frac {dx}{\sqrt {E-U}}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}dt$

Движение при наличии связи

Если движение материальной точки ограничено (например, точка может двигаться по плоскости или кривой), говорят, что на движение точки наложена связь.

Движение вдоль кривой

Пусть кривая задана в пространстве как пересечение двух поверхностей, которые задаются уравнениями $f_{1}(x,y,z,t)=0$ и $f_{2}(x,y,z,t)=0$. Нормали к этим поверхностям $N_{1}$ и $N_{2}$ коллинеарны векторам $\nabla f_{1}$ и $\nabla f_{2}$, соответственно. Так как любая нормаль к кривой лежит в плоскости, определяемой векторами $N_{1}$ и $N_{2}$, то

${\vec {R}}=\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}$

Уравнения движения материальной точки записываются в следующем виде:

$m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}$

Если функции $f_{1}$ и $f_{2}$ явно не зависят от времени, то имеем как и в случае свободного движения точки

${\frac {d}{dt}}\;{\frac {mv^{2}}{2}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$

Движение по поверхности

Пусть материальная точка все время остаётся на некоторой гладкой поверхности, которая задаётся уравнением $f(x,y,z,t)=0$. В случае идеальной связи, сила реакции связи перпендикулярна поверхности, то есть ${\vec {R}}=\lambda \nabla f$. Движение точки полностью определяется уравнениями движения и уравнением связи

$m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda \nabla f$

Если связь не зависит от времени, а сила потенциальна, то будет выполнятся интеграл живых сил

Литература

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.
2. Березкин Е.Н. Курс теоретической механики. М.: МГУ, 1974. -647 с.