Векторный анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.

Сфера применения[править | править вики-текст]

Объектами приложения векторного анализа являются:

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

  1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
  2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
  3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы[править | править вики-текст]

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

Оператор Обозначение Описание Тип
Градиент  \operatorname{grad}(f) = \nabla f Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. Скаляр \Rightarrow вектор
Дивергенция  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. Вектор \Rightarrow скаляр
Ротор  \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} Характеризует вихревую составляющую векторного поля. Вектор \Rightarrow вектор
Лапласиан  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f Сочетание дивергенции с градиентом. Скаляр \Rightarrow скаляр

Основные соотношения[править | править вики-текст]

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема Запись Пояснения
Теорема о градиенте  \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина \oint\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса  \int\limits_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк[править | править вики-текст]

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор \nablaнабла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]