Гравитационное поле Земли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гравитационное поле Земли — поле силы тяжести, обусловленное тяготением Земли и центробежной силой, вызванной её суточным вращением. Характеризуется пространственным распределением силы тяжести и гравитационного потенциала.

Для решения практических задач потенциал земного притяжения (без учёта центробежной силы и влияния других небесных тел) выражается в виде ряда

V(r,\phi,\lambda)= \frac{GM}{r} \left[ 1 + \sum^\infty_{n=1}  \left( \frac{a}{r} \right)^n   \sum^n_{m=0} P_{nm} \sin \phi
\left( C_{nm} \cos m\lambda + S_{nm} \sin m \lambda \right) \right], где
r, \phi, \lambda — полярные координаты, G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, GM = 398 603⋅109 м3с−2, a — большая полуось Земли.

Ускорение свободного падения[править | править вики-текст]

В неинерциальных системах отсчёта[1] ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах[2]. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/с²[3][4]. Стандартное значение (англ.) g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/с².

В СМИ и научно-популярной литературе g нередко используется как внесистемная единица силы тяжести, применяемая, например, для оценки величины перегрузок при тренировках лётчиков и космонавтов, а также силы тяготения на других небесных телах (см. раздел Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами).

Получение значения g из закона всемирного тяготения[править | править вики-текст]

Согласно закону всемирного тяготения, сила земной гравитации, действующая на тело, определяется формулой

F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}=\left(G \frac{m_1}{r^2}\right) m_2,

где r — расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), m1 — масса Земли и m2 — масса тела.

Кроме того, согласно второму закону Ньютона, F = ma, где m — масса и a — ускорение,

F = m_2g\,

Из сопоставления двух формул видно, что

g=G \frac {m_1}{r^2}

Таким образом, чтобы найти получить значение ускорения силы тяжести g на уровне моря, необходимо в формулу подставить значения гравитационной постоянной G, массы Земли (в килограммах) m1 и радиуса Земли (в метрах) r :

g=G \frac {m_1}{r^2}=(6.67384 \times 10^{-11}) \frac{5.9722 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2}=9.8196 \mbox{m} \cdot \mbox{s}^{-2}

Следует отметить, что эта формула правомерна для сферического тела при допущении, что вся его масса сосредоточена в его центре. Это позволяет нам использовать величину радиуса Земли для r.

Существуют значительные неопределенности значений r и m1, а также значения гравитационной постоянной G, которую трудно точно измерить.

Если G,g и r известны, то решение обратной задачи позволит получить величину массы Земли.

Гравитационные аномалии[править | править вики-текст]

Гравитационные аномалии Земли (по данным NASA GRACE — Gravity Recovery And Climate Change). Анимированная версия[5].

Гравитационные аномалии применительно к геофизике — отклонения величины гравитационного поля от расчётной, вычисленной на основе той или иной математической модели. Гравитационный потенциал земной поверхности, или геоида, обычно описывается на основании математических теорий с использованием гармонических функций[6]. Эти отклонения могут быть вызваны различными факторами, в том числе:

  • Земля не является однородной, её плотность различна на разных участках;
  • Земля не является идеальной сферой, и в формуле используется среднее значение величины её радиуса;
  • Расчётное значение g учитывает только силу тяжести и не учитывает центробежную силу, возникающую за счёт вращения Земли;
  • При подъёме тела над поверхностью Земли значение g уменьшается («высотная поправка» (см. ниже), аномалия Бугера);
  • На Землю воздействуют гравитационные поля других космических тел, в частности, приливные силы Солнца и Луны.

Высотная поправка[править | править вики-текст]

Первая поправка для стандартных математических моделей, так называемая высотная аномалия (англ.), позволяет учесть изменение величины g в зависимости от высоты над уровнем моря[7]. Используем значения массы и радиуса Земли:

r_\mathrm{Earth}= 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}
m_\mathrm{Earth}= 5.9722 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}

Поправочный коэффициент (Δg) может быть получены из соотношения между ускорением силы тяжести g и гравитационной постоянной G:

g_0 = G \, m_\mathrm{Earth} / r_\mathrm{Earth}^2 = 9.8196\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}, где:
G = 6.67384 \times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^2}..

На высоте h над поверхностью Земли gh рассчитывается по формуле:

g_h = G \, m_\mathrm{Earth} / \left( r_\mathrm{Earth} + h \right) ^2

Так, высотная поправка для высоты h может быть выражена:

\Delta g_h = \left [ G \, m_\mathrm{Earth} / \left( r_\mathrm{Earth} + h \right) ^2 \right ] - \left[G \, m_\mathrm{Earth} / r_\mathrm{Earth}^2 \right].

Это выражение может быть легко использовано для программирования или включения в таблицу. Упрощая и пренебрегая малыми величинами (h<<rEarth), получаем хорошее приближение:

\Delta g_h \approx - \, \dfrac{ G \, m_\mathrm{Earth}}{ r_\mathrm{Earth} ^2} \times \dfrac{ 2 \,h}{r_\mathrm{Earth}}.

Используя приведённые выше численные значения выше, и высоту h в метрах, получим:

\Delta g_h \approx - 3.083 \times 10^{-6}\, h

Учитывая широту местности и высотную поправку, получаем:

g_{\phi, h}=9.780 327 \left( 1+0.0053024\sin^2 \phi-0.0000058\sin^2 2\phi \right) - 3.086 \times 10^{-6}h,

где  \ g_{\phi, h} — ускорение свободного падения на широте \ \phi и высоте h. Это выражение можно также представить в следующем виде:

g_{\phi, h}=9.780327 \left[ \left( 1+0.0053024\sin^2 \phi-0.0000058\sin^2 2\phi \right) - 3.155 \times 10^{-7}h \right] \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} .

Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами[править | править вики-текст]

В таблице приведены значения величин ускорения свободного падения на поверхности Земли, Солнца, Луны, планет Солнечной системы, ряда спутников и астероидов. Для планет — гигантов под «поверхностью» понимается видимая поверхность, а для Солнца — верхняя граница фотосферы. Данные в таблице не учитывают эффекта центробежной силы от вращения планет и фактически означают значения искомых величин вблизи полюсов планет. Справочно указано время падения объекта на данное небесное тело со 100- метровой высоты и максимальная скорость, достигаемая при этом (сопротивление воздуха не учтено).

Небесное тело Сила тяжести
по сравнению с земной
Ускорение свободного падения на поверхности, м/сек2 Примечания Время падения со 100-метровой высоты/Достигаемая при этом скорость
Солнце 27,90 274,1 0,85 сек 843 км/ч
Меркурий 0,3770 3,703 7,4 сек 98 км/ч
Венера 0,9032 8,872 4,8 сек 152 км/ч
Земля 1 9,8067 [8] 4,5 сек 159 км/ч
Луна 0,1655 1,625 11,1 сек 65 км/ч
Марс 0,3895 3,728 7,3 сек 98 км/ч
Церера 0,029 0,028 26,7 сек 27 км/ч
Юпитер 2,640 25,93 2,8 сек 259 км/ч
Ио 0,182 1,789 10,6 сек 68 км/ч
Европа 0,134 1,314 12,3 сек 58 км/ч
Ганимед 0,145 1.426 11,8 сек 61 км/ч
Каллисто 0,126 1,24 12,7 сек 57 км/ч
Сатурн 1,139 11,19 4,2 сек 170 км/ч
Титан 0,138 1,3455 12,2 сек 59 км/ч
Уран 0,917 9,01 4,7 сек 153 км/ч
Титания 0,039 0,379 23,0 сек 31 км/ч
Оберон 0,035 0,347 24,0 сек 30 км/ч
Нептун 1,148 11,28 4,2 сек 171 км/ч
Тритон 0,079 0,779 16,0 сек 45 км/ч
Плутон 0,0621 0,610 18,1 сек 40 км/ч
Эрида 0,0814 0,8 (приблизит.) 15,8 сек 46 км/ч

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Аналог уравнения второго закона Ньютона, справедливое для неинерциальных систем отсчёта.
  2. «Свободное падение тел. Ускорение свободного падения»
  3. Декларация III Генеральной конференции по мерам и весам (1901) (англ.). Международное бюро мер и весов. Проверено 9 апреля 2013.
  4. В. М. Деньгуб, В. Г. Смирнов. Единицы величин. Словарь — справочник. М.: Изд-во стандартов, 1990, с. 237.
  5. NASA/JPL/University of Texas Center for Space Research PIA12146: GRACE Global Gravity Animation. Photojournal. NASA Jet Propulsion Laboratory. Проверено 30 декабря 2013.
  6. В.Л.Пантелеев. "Теория фигуры Земли" (курс лекций)
  7. Fowler C.M.R. The Solid Earth: An Introduction to Global Geophysics. — 2. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2005. — P. 205–206. — ISBN 0-521-89307-0.
  8. Это значение исключает влияние центробежной силы из-за вращения Земли и, следовательно, больше, чем стандартное значение 9,80665 м/сек2.

Ссылки[править | править вики-текст]