Дружественные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел называют дружественной, если:

где  — делители числа ,  — делители числа .

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

История[править | править вики-текст]

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284 (Делители для 220 это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284. Делители для 284 это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220).

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Одна из них — 17 296 и 18 416. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Примеры[править | править вики-текст]

Ниже приведены все пары дружественных чисел вплоть до 980 984.

  1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
  2. 1184 и 1210 (Паганини, 1866)
  3. 2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
  4. 5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
  5. 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
  6. 10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747)
  7. 12 285 и 14 595 (Браун, 1939)
  8. 17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
  9. 63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747)
  10. 66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750)
  11. 67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747)
  12. 69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747)
  13. 79 750 и 88 730 (Рольф (Rolf), 1964)
  14. 100 485 и 124 155
  15. 122 265 и 139 815
  16. 122 368 и 123 152
  17. 141 664 и 153 176
  18. 142 310 и 168 730
  19. 171 856 и 176 336
  20. 176 272 и 180 848
  21. 185 368 и 203 432
  22. 196 724 и 202 444
  23. 280 540 и 365 084
  24. 308 620 и 389 924
  25. 319 550 и 430 402
  26. 356 408 и 399 592
  27. 437 456 и 455 344
  28. 469 028 и 486 178
  29. 503 056 и 514 736
  30. 522 405 и 525 915
  31. 600 392 и 669 688
  32. 609 928 и 686 072
  33. 624 184 и 691 256
  34. 635 624 и 712 216
  35. 643 336 и 652 664
  36. 667 964 и 783 556
  37. 726 104 и 796 696
  38. 802 725 и 863 835
  39. 879 712 и 901 424
  40. 898 216 и 980 984
  41. и т. д.

Пары дружественных чисел образуют последовательность[1]:

220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, …

Способы построения[править | править вики-текст]

Формула Сабита ибн Курра[править | править вики-текст]

Если для натурального числа все три числа:

,
,
,

являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел.

Эта формула даёт пары (220, 284), (17 296, 18 416) и (9 363 584, 9 437 056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел для не существует. Кроме того, многие пары дружественных чисел, например, (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро[править | править вики-текст]

Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и  — дружественные.

Открытые проблемы[править | править вики-текст]

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На апрель 2016 года известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел[2]. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.

Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.

Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 1067.

Интересные факты[править | править вики-текст]

Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866 г. итальянский школьник — Никколо Паганини — полный тёзка великого скрипача. Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Последовательность A063990 в OEIS: дружественные числа = Amicable numbers
  2. Sergei Chernykh Amicable Pairs list

Ссылки[править | править вики-текст]