Дружественные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел называют дружественной, если:

где  — делители числа ,  — делители числа .

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

История[править | править вики-текст]

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

  • Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284.
  • Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел:

  • 17 296 и 18 416.
  • 9 363 584 и 9 437 056.

В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары; например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил, её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Примеры[править | править вики-текст]

Ниже приведены все пары дружественных чисел вплоть до 980 984.

  1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
  2. 1184 и 1210 (Паганини, 1866)
  3. 2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
  4. 5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
  5. 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
  6. 10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747)
  7. 12 285 и 14 595 (Браун, 1939)
  8. 17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
  9. 63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747)
  10. 66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750)
  11. 67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747)
  12. 69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747)
  13. 79 750 и 88 730 (Рольф (Rolf), 1964)
  14. 100 485 и 124 155
  15. 122 265 и 139 815
  16. 122 368 и 123 152
  17. 141 664 и 153 176
  18. 142 310 и 168 730
  19. 171 856 и 176 336
  20. 176 272 и 180 848
  21. 185 368 и 203 432
  22. 196 724 и 202 444
  23. 280 540 и 365 084
  24. 308 620 и 389 924
  25. 319 550 и 430 402
  26. 356 408 и 399 592
  27. 437 456 и 455 344
  28. 469 028 и 486 178
  29. 503 056 и 514 736
  30. 522 405 и 525 915
  31. 600 392 и 669 688
  32. 609 928 и 686 072
  33. 624 184 и 691 256
  34. 635 624 и 712 216
  35. 643 336 и 652 664
  36. 667 964 и 783 556
  37. 726 104 и 796 696
  38. 802 725 и 863 835
  39. 879 712 и 901 424
  40. 898 216 и 980 984
  41. и т. д.

Пары дружественных чисел образуют последовательность[1]:

220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, …

Способы построения[править | править вики-текст]

Формула Сабита ибн Курра[править | править вики-текст]

Если для натурального числа все три числа:

,
,
,

являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел.

Эта формула даёт пары (220, 284), (17 296, 18 416) и (9 363 584, 9 437 056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для не существует. Кроме того, многие пары дружественных чисел, например, (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро[править | править вики-текст]

Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и  — дружественные.

Открытые проблемы[править | править вики-текст]

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На апрель 2016 года известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел[2]. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.

Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.

Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 1067.

Интересные факты[править | править вики-текст]

Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866 г. итальянский школьник — Никколо Паганини — полный тёзка великого скрипача. Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Последовательность A063990 в OEIS: дружественные числа = Amicable numbers
  2. Sergei Chernykh Amicable Pairs list

Ссылки[править | править вики-текст]