Избыточные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Избы́точное число́ — положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n.

Любое натуральное число относится к одному из трёх классов:

Избыточные числа (последовательность A005101 в OEIS):

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …

Число 48, например, является избыточным, поскольку 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.

Наименьшим избыточным числом является 12. Наименьшим нечётным избыточным числом является 945.

Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.

Индексом избыточности называется величина I(N)=\sigma(N)/N, где \sigma(N) — сумма делителей числа (для совершенных чисел I(N)=2 .

Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность \{a_k\} минимальных чисел N, таких что I(N)>k — последовательность A134716 в OEIS.

Советский математик Лев Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

См. также[править | править вики-текст]