Комбинаторная геометрия

Кубическая гранецентрированная упаковка

Комбинаторная или дискретная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются комбинаторные свойства геометрических объектов и связанные с ними конструкции. В комбинаторной геометрии рассматривают конечные и бесконечные дискретные множества или структуры базовых однотипных геометрических объектов (точек, прямых, окружностей, многоугольников, тел с одинаковым диаметром, целочисленных решёток и т. п.) и ставят вопросы, связанные со свойствами различных геометрических конструкций из этих объектов или на этих структурах. Проблемы комбинаторной геометрии простираются от конкретных «предметно»-комбинаторных вопросов (хотя и не всегда с простыми ответами) — замощения, упаковка кругов на плоскости, формула Пика — до вопросов общих и глубоких — гипотеза Борсука, проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера.

История

Хотя многогранники, замощения и упаковка шаров исследовались ещё Кеплером и Коши, современная комбинаторная геометрия начала формироваться в конце 19-го века. Одними из первых задач были: плотность упаковки кругов Акселя Туэ, проективная конфигурация Штайница, геометрия чисел Минковского и проблема четырёх красок .

Примеры задач

Представление о диапазоне задач комбинаторной геометрии дают следующие примеры.

• Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Ромботришестиугольная упаковка шаров, одна из 11 возможных симметричных упаковок

• Задача о возможных и наиболее плотных упаковках кругов на плоскости и шаров в пространстве. Наиболее плотные упаковки кругов и шаров представляются очевидными. Но полное математическое доказательство для кругов было получено только в 1940 году. Для шаров компьютерное доказательство гипотезы Кеплера появилось спустя 400 лет в 1998 году в работе математика Томаса Хейлса

Восемь точек в общем положении, для которых нет выпуклого пятиугольника

• Теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках утверждает, что в любом достаточно большом множестве точек в общем положении на плоскости можно найти $n$ точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Гипотеза Эрдёша — Секереша о минимальном числе точек, обязательно содержащих выпуклый $n$-угольник, на сегодня не доказана. Данная задача является также задачей теории Рамсея.

• Теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть $S$ — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат $O$ $n$-мерного евклидова пространства, имеющее объём $\geq 2^{n}$. Тогда в $S$ найдётся целочисленная точка, отличная от $O$. Эта теорема положила начало геометрии чисел.

• Гипотеза Борсука утверждает, что любое тело диаметра $d$ в $n$-мерном евклидовом пространстве можно разбить на $n+1$ часть так, что диаметр каждой части будет меньше $d$. Эта гипотеза была доказана для размерностей $2$ и $3$, но опровергнута для пространств большой размерности. По известной сегодня оценке она не верна для пространств размерности 64 и более.

• Задача Данцера — Грюнбаума заключается в поиске конечного множества из как можно большего количество точек в многомерном пространстве, между которыми можно построить только острые углы.

См. также

• Вычислительная геометрия
• Конечная геометрия
• Геометрия чисел

Ссылки

• Bezdek, András; Kuperberg, W. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. — New York, N.Y : Marcel Dekker, 2003. — ISBN 0-8247-0968-3.
• Bezdek, Károly. Classical Topics in Discrete Geometry. — New York, N.Y : Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4.
• Brass, Peter. Research problems in discrete geometry / Peter Brass, William Moser, János Pach. — Berlin : Springer, 2005. — ISBN 0-387-23815-8.
• Pach, János. Combinatorial geometry / János Pach, Pankaj K. Agarwal. — New York : Wiley-Interscience, 1995. — ISBN 0-471-58890-3.
• Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph. Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. — Boca Raton : Chapman & Hall/CRC, 2004. — ISBN 1-58488-301-4.
• Gruber, Peter M. Convex and Discrete Geometry. — Berlin : Springer, 2007. — ISBN 3-540-71132-5.
• Matoušek, Jiří. Lectures on discrete geometry. — Berlin : Springer, 2002. — ISBN 0-387-95374-4.
• Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Excursions into Combinatorial Geometry. — Springer, 1997. — ISBN 3-540-61341-2.