Обратные тригонометрические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Арксинус»)
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

  • арксинус (обозначение — это угол, синус которого равен )
  • арккосинус (обозначение: — это угол, косинус которого равен и т. д.)
  • арктангенс (обозначение: ; в иностранной литературе )
  • арккотангенс (обозначение: ; в иностранной литературе или )
  • арксеканс (обозначение: )
  • арккосеканс (обозначение: ; в иностранной литературе )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: , но они не прижились[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданому числу. Например, означает множество углов , синус которых равен . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т.д.
В общем случае при условии все решения уравнения можно представить в виде [3]

Основное соотношение[править | править вики-текст]

Функция arcsin[править | править вики-текст]

График функции .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, выраженного в радианах, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arcsin[править | править вики-текст]

  • (функция является нечётной).
  • при .
  • при
  • при

Получение функции arcsin[править | править вики-текст]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — . Так как для функции на интервале каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой (графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов координатной плоскости )

Функция arccos[править | править вики-текст]

График функции .

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, в радианной мере, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arccos[править | править вики-текст]

  • (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.
  • при
  • при

Получение функции arccos[править | править вики-текст]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — На этом отрезке строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

Функция arctg[править | править вики-текст]

График функции .

Арктангенсом числа m называется такое значение угла , выраженное в радианах, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

  • при
  • при

Свойства функции arctg[править | править вики-текст]

  • , при x > 0.

Получение функции arctg[править | править вики-текст]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является (т. к. нарушается требование однозначности). Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — На этом отрезке строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале существует обратная , график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

Функция arcctg[править | править вики-текст]

График функции

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.

  • при
  • при

Свойства функции arcctg[править | править вики-текст]

  • (график функции центрально-симметричен относительно точки
  • при любых

Получение функции arcctg[править | править вики-текст]

Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — . На этом отрезке строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы:

Функция arcsec[править | править вики-текст]

Функция arccosec[править | править вики-текст]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править вики-текст]




Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править вики-текст]

Неопределённые интегралы[править | править вики-текст]

Для действительных и комплексных x:

Для действительных x ≥ 1:

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править вики-текст]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике, эти функции от отношений сторон сразу дают угол:

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

Связь с натуральным логарифмом[править | править вики-текст]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  2. Здесь знак −1 определяет функцию x = f−1 (y), обратную функции y = f (x)
  3. Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]