Решётка E8

Решётка Е₈, или решётка Коркина — Золотарёва, — корневая решётка группы Е₈. Она реализует в размерности 8:

• Максимально возможное контактное число;
• Плотнейшую упаковку шаров.

Обычно обозначается $E_{8}$, также как и группa Е₈.

История

Существование этой решётки было доказано Смитом в 1867 году. Первое явное построение было дано Коркиным и Золотарёвым в 1873 году.

Описание

Решётку Е₈ можно реализовать как дискретную подгруппу $\mathbb {R} ^{8}$ из векторов, обладающих следующим набором свойств:

• все координаты любой точки — либо целые числа, либо полуцелые числа (то есть целое число с половиной);
• сумма всех восьми координат представляет собой чётное целое число.

Иначе говоря,

$E_{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.$

Нетрудно проверить, что сумма и разность любых двух векторов из E₈ содержится в E₈, отсюда E₈ является подгруппой $\mathbb {R} ^{8}$.

Решётку Е₈ можно также реализовать как множество всех точек в E'₈ в $\mathbb {R} ^{8}$ таких, что

• все координаты — целые числа с чётной суммой или
• все координаты — полуцелые с нечётной суммой.

Иначе говоря

$E_{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.$

или

$E_{8}'={\biggl \{}(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2){\biggr \}}\cup {\biggl \{}(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2){\biggr \}}.$

Решётки E₈ и E'₈ изоморфны, одну можно получить из другой, поменяв знак у одной из координат.

Свойства

Характеризация

Решётку E₈ можно охарактеризовать как единственную решётку в $\mathbb {R} ^{8}$, удовлетворяющую следующим свойствам:

• Это унимодулярная решётка, то есть
  • из её базиса можно составить матрицу $8\times 8$ с определителем ±1.
  • Иначе говоря, объём фундаментальной области этой решётки равен 1.
  • Эквивалентно, E₈ является самодвойственной, то есть она совпадает со своей обратной решёткой.
• Эта решётка чётная, то есть норма любого её вектора — чётное целое число.

Чётные унимодулярные решётки существуют только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решёток две: E₈ ⊕ E₈ и D₁₆⁺ (последняя строится аналогично E₈ в размерности 16). В размерности 24 существует 24 такие решётки, наиболее важной из них является решётка Лича.

Базис

Один из возможных базисов для E₈ задаётся столбцами следующей верхнетреугольной матрицы

$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].$

То есть E₈ состоит из всех целых линейных комбинаций столбцов. Все другие базисы получаются из одного умножением справа на матрицу из GL(8,Z).

Минимальная норма

Кратчайший ненулевой вектор E₈ имеет норму 2, всего решётка содержит 240 таких векторов. Эти вектора образуют корневую систему группы Е₈. То есть решётка E₈ является корневой решёткой Е₈. Любой выбор из 8 простых корней дает базис E₈.

Фундаментальная область

Областями Вороного решётки E₈ являются 5 21 соты.

Группа симметрий

Группы симметрий решётки в Rⁿ определяется как подгруппа ортогональной группы O(n), которая сохраняет решётку. Группа симметрий решётки Е₈ порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решётки. Её порядок равен

$|W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.$

Эта группа содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всех перестановок координат и чётного числа смен знаков. Полная группа симметрий порождается этой подгруппой и блочно-диагональной матрицей H₄⊕H₄ где H₄ — матрица Адамара

$H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right].$

Упаковка шаров

В задаче упаковки шаров спрашивается, как наиболее плотным способом упаковать шары фиксированного радиуса в пространство без наложений. В R⁸ размещение шаров радиуса $1/{\sqrt {2}}$ в точках решётки Е₈ даёт упаковку максимальной плотности, равной

${\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.$

То, что эта плотность максимальна для решётчатых упаковок, было известно давно. Кроме того, было известно, что такая решётка единственна с точностью до подобия. Марина Вязовская недавно доказала, что эта упаковка является оптимальной даже среди всех упаковок.

Решение задачи упаковки шаров известно только в размерностях 1, 2, 3, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, связан с особыми свойствами решётки Е₈ и её 24-мерного аналога решётки Лича.

Контактное число

В задаче о контактном числе спрашивается, какое максимальное число шаров фиксированного радиуса может коснуться в центрального шара того же радиуса. В размерности 8 ответ — 240; такую конфигурацию можно получить, если разместить шары в точках решётки Е₈ с минимальной нормой. Это было доказано в 1979 году.

Решение задачи о контактном числе известно только в размерностях 1, 2, 3, 4, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, также связан с особыми свойствами решётки Е₈ и её 24-мерного аналога решётки Лича.

Тэта-функция

Тэта-функция решётки Λ определяется как сумма

$\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.$

Она является голоморфной функцией на верхней полуплоскости. Кроме того, тэта-функция чётной унимодулярной решётки ранга n является модульной формой веса n/2.

С точностью до нормализации, есть единственная модульная форма веса 4: это ряд Эйзенштейна G₄(τ). То есть тэта-функция решётки E₈ должна быть пропорциональна G₄(τ). Это даёт

$\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}$

где σ₃(n) является функцией делителей и $q=e^{i\pi \tau }$.

Отсюда следует, что число векторов нормы 2n в решётке Е₈ равно $240\cdot$(сумма кубов делителей n). Это последовательность A004009 в OEIS:

$\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).$

Тета-функция решётки Е₈ может быть записана в терминах тета-функций Якоби следующим образом:

$\Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)$

где

$\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.$

Код Хэмминга

Код Хэмминга H(8,4) — это двоичный код длины 8 и 4-го ранга; то есть, это 4-мерное подпространство векторного пространства конечной (F₂)⁸. Написание элементов (F₂)⁸ в качестве 8-разрядных целых чисел в шестнадцатеричный код H(8,4) может быть явно записано как

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Код H(8,4) является самодвойственным кодом типа II. Он имеет минимальный вес Хэмминга 4; это означает, что любые два кодовые слова отличаются по крайней мере на 4 бита. Для двоичных кодов 4-го ранга длины 8 это является максимумом.

По двоичному коду C длины n можно построить решётку Λ, взяв множество всех векторов $x\in \mathbb {Z} ^{n}$ таких, что $x$ совпадает (по модулю 2) с кодовым словами из C часто удобно масштабировать Λ с коэффициентом 1/√2,

$\Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.$

Применение данной конструкции к самодвойственному коду типа II даёт чётную, унимодулярную решётку. В частности, для кода Хемминга H(8,4) получаем решётку Е₈.

Задача отыскания явного изоморфизма между полученной решёткой и решёткой E₈ определённой выше не вполне тривиальна.

Целые октонионы

Решётка Е₈ используется при определении целых октонионов аналогично целым кватернионам.

Целые октонионы, естественно, образуют решётку в O. Эта решётка подобна решётке Е₈ с коэффициентом $1/{\sqrt {2}}$. (Минимальная норма в целых октонионах равна 1, а не 2).

Целые октонионы образуют неассоциативное кольцо.

Приложения

• В 1982 году Фридман построил топологическое четырёхмерное многообразие, называемое Е₈-многообразие, чья форма пересечений задаётся решёткой Е₈. Это многообразие представляет собой пример топологического многообразия, которое не допускает гладкую структуру и даже не триангулируемо.
• В теории струн гетеротическая струна — это своеобразный гибрид 26-мерных бозонных струн и 10-мерных суперструн. Для того, чтобы теория работала правильно, 16 лишних размерностей должны быть компактифицированы чётной унимодулярной решёткой ранга 16. Есть две такие решётки: E₈⊕E₈ и D₁₆⁺ (построен аналогично E₈). Это приводит к двум версиям гетеротических струн, известным как E₈×E₈ и SO(32).

См. также

• Решётка Лича
• Группа Ли Е₈
• E8-многообразие

Литература

• Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
• John Horton Conway; Sloane, Neil J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups (англ.). — 3rd. — New York: Springer-Verlag, 1998. — ISBN 0-387-98585-9.
• John Horton Conway; Smith, Derek A. On Quaternions and Octonions (англ.). — Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd, 2003. — ISBN 1-56881-134-9. В главе 9 обсуждаются целые октинионы и решётка E₈.