Алгебра Кэли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

История[править | править вики-текст]

Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем[1] Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.

Конструкция[править | править вики-текст]

Число Кэли — это линейная комбинация элементов . Каждая октава x может быть записана в форме

с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн[2]. Таблица умножения элементов октавы:

1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7)
i (e1) −1 k j il l kl jl
j (e2) k −1 i jl kl l il
k (e3) j i −1 kl jl il l
l (e4) il jl kl −1 i j k
il (e5) l kl jl i −1 k j
jl (e6) kl l il j k −1 i
kl (e7) jl il l k j i −1
Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов[3]

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 -1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6
e2 −e3 -1 e1 e6 e7 −e4 −e5
e3 e2 −e1 -1 e7 −e6 e5 −e4
e4 −e5 −e6 −e7 -1 e1 e2 e3
e5 e4 −e7 e6 −e1 -1 −e3 e2
e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 -1 −e1
e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 -1

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Номер 1 2 3 4 5 6 7
Буквы i j k l il jl kl
Замена i j k l m n o

Свойства[править | править вики-текст]

Сопряжение и норма[править | править вики-текст]

Пусть дан октонион

Операция сопряжения октониона определена равенством

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

Вещественная часть октониона определена равенством

и мнимая часть октониона определена равенством

Норма октониона определена равенством

.

Легко убедиться, что норма неотрицательное вещественное число

Следовательно, тогда и только тогда, когда .

Из определения нормы следует, что октонион обратим и

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Куда же спряталась самая свободная алгебра? (HTML) (26-01-2003). Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
  2. Ian Stewart: The Missing Link (недоступная ссылка с 19-05-2013 (1145 дней) — история) (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
    Статья The missing link на yahoo.com, русский перевод на scientific.ru.
  3. Антисимметрия по диагонали для −1