E₈ (математика)

Граф полиэдра $\scriptstyle {E_{8}}$

$E_{8}$ — наибольшая особая простая группа Ли. $E_{8}$ была открыта Вильгельмом Киллингом в 1888—1890 годах, а современное её обозначение пришло из классификации простых алгебр Ли, которую ввели Эли Картан и Вильгельм Киллинг. Классификация выделяет четыре бесконечных семейства простых алгебр Ли, обозначаемых $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$, $D_{n}$, и пять особых случаев, обозначаемых E₆, E₇, E₈, F₄ и G₂.

Описание

$E_{8}$ имеет ранг 8 и размерность 248 (как многообразие). Векторы системы корней определены в восьми измерениях.

Схема Дынкина

Схема Дынкина для E₈ имеет вид

Эта схема вкратце описывает строение системы корней. Каждый узел схемы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, означает, что они находятся под углом 120° друг к другу. Два простых корня, не соединённые линией, ортогональны.

Матрица Картана

Матрица Картана системы корней порядка r — это матрица $r\times r$, элементы которой определяются простыми корнями следующим образом:

$A_{ij}=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}$

где $(\cdot ,\cdot )$ — евклидово скалярное произведение, а $\alpha _{i}$ — простые корни. Элементы матрицы не зависят от выбора простых корней (с точностью до порядка).

Матрица Картана для E₈ имеет вид

$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]$

Определитель этой матрицы равен 1.

См. также

• Решётка E₈
• E₈-многообразие
• Исключительно простая теория всего

Ссылки

• «Ну очень большой результат», Компьютерра, Галактион Андреев, 11 апреля 2007 года
• «В 248-мерное пространство прорвались теоретики», Cnews, 20 марта 2007 года