Гипероператор

В математике гиперопера́тор — это обобщение арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, на высшие порядки. Гипероператор порядка n с аргументами a и b (обозначаемый a⁽ⁿ⁾b) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка n-1 к последовательности из b одинаковых аргументов, каждый из которых равен a:

• сложение a и b — увеличение числа a на количество единиц, равное b:

$a{^{(1)}}b=a+\underbrace {1+1+\dots +1} _{b}=a+b$

• умножение a на b — сложение числа a с самим собой b раз:

$a{^{(2)}}b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b}=a\times b$

• возведение a в степень b — умножение числа a на само себя b раз:

$a{^{(3)}}b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b}=a^{b}$

• ...
• $a{^{(n)}}b=\underbrace {a^{(n-1)}a^{(n-1)}\dots a^{(n-1)}a} _{b}$

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка n>2 не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных a, b и n ограничиваются целыми неотрицательными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по разному:

• Кнут использует стрелки $\uparrow$;
• Конвей использует стрелки $\to$.

$a{^{(n)}}b={\textrm {hyper}}(a,n,b)=a\uparrow ^{n-2}b=a\to b\to (n-2)$

Определение

Отвечая на вопрос: «Что будет при продолжении стандартной последовательности математических действий?» сложение (+), умножение (×), возведение в степень (^) и учитывая:

• $a+b=1+(a+(b-1))\!$
• $a\times b=a+(a\times (b-1))$
• $a^{b}=a\times (a^{(b-1)})$

рекурсивно определим общую операцию в инфиксной форме:

$a^{(n)}b=\left\{{\begin{matrix}b+1,&{\mbox{if }}n=0\\a,&{\mbox{if }}n=1,b=0\\0,&{\mbox{if }}n=2,b=0\\1,&{\mbox{if }}n\geq 3,b=0\\a^{(n-1)}(a^{(n)}(b-1))&{\mbox{if }}n\geq 1,b\geq 1,a\geq 0\end{matrix}}\right.$

Тогда гипероператор определяется как $\operatorname {hyper{\mathit {n}}} (a,b)=a^{(n)}b$ и $\operatorname {hyper} (a,n,b)=a^{(n)}b$

Распишем для первых натуральных четырёх n:

$\operatorname {hyper1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b=a+b$

$\operatorname {hyper2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b=a\times b$

$\operatorname {hyper3} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,3,b)=a^{(3)}b=a^{b}$

${\operatorname {hyper4} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,4,b)=a^{(4)}b=a\uparrow \uparrow b= \atop {\ }}\!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$

Вычисление слева направо

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с Гипероператором при n<4:

• $a+b=(a+(b-1))+1\!$
• $a\times b=(a\times (b-1))+a$
• $a^{b}=(a^{(b-1)})\times a$

См. также

• Возведение в степень
• Функция Аккермана
• Суперкорень
• Суперлогарифм

Ссылки

• Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68-73.
• Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.