Однородное пространство

Тор. Стандартный тор является однородным по группам его диффеоморфизмов и гомеоморфизмов, а плоский тор однороден по его группам диффеоморфизмов, гомеоморфизмов и изометрий.

Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя все пространства, изучаемые в классической геометрии, как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и так далее.

Определение

Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.

Замечания

• Элементы X называются точками однородного пространства.
• Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений или основной группой однородного пространства.
• Подгруппа $H_{x}<G$, фиксирующая элемент $x\in X$, называется стабилизатором $x$.
• Если множество X наделено дополнительной структурой, например метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики, действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.

Свойства

• Все стабилизаторы являются спряжёнными подгруппами.
• Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.

Примеры

Метрические пространства

• Евклидово пространство $\mathbb {E} ^{n}$ с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа $\mathrm {O} (n)$ ортогональных преобразований.
• Стандартная сфера $\mathbb {S} ^{n}$ со следующими действиями:
  • Группы $\mathrm {O} (n)$ ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе $\mathrm {O} (n-1)$.
  • Группы $\mathrm {SO} (n)$ — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе $\mathrm {SO} (n-1)$.
• Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
• Антидеситтеровское пространство: $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$.
• Грассманиан: $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$.

Другие

• Аффинное пространство (для аффинной группы, точечный стабилизатор полной линейной группы): $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$.
• Топологические векторные пространства (в топологическом смысле).

Вариации и обобщения

• Метрическое пространство $X$ называется $n$-точечно однородным если изометрического отображения $n$-точечно подмножества $K\subset X$ в $X$ можно продолжить до изометрии $X$.
  • Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее.
• Двойное фактор-пространство $G/\!/H$ — фактор группы $G$ по подгруппе $H<G\times G$, действующей на $G$ справа и слева.

• Предоднородные векторные пространства — конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G, такое что существует орбита G, открытая в топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве. Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато.