Непрерывное отображение: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
OZH (обсуждение | вклад) дополнение: Литература (Келли Дж. Л. Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с. ) |
OZH (обсуждение | вклад) →Общее топологическое определение: обновление данных, уточнение, дополнение, оформление, стилевые правки |
||
Строка 14: | Строка 14: | ||
Наиболее общее определение даётся в [[Топология|топологии]]. Это определение ''глобально'', поскольку относится ко всему пространству в целом. Также рассматриваются непрерывные функции, заданные на подмножествах топологического пространства, и тогда понятие непрерывности удобнее сначала сформулировать ''локально'' в некоторой точке, а уже потом положить, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений. |
Наиболее общее определение даётся в [[Топология|топологии]]. Это определение ''глобально'', поскольку относится ко всему пространству в целом. Также рассматриваются непрерывные функции, заданные на подмножествах топологического пространства, и тогда понятие непрерывности удобнее сначала сформулировать ''локально'' в некоторой точке, а уже потом положить, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений. |
||
=== Непрерывность в топологических пространствах === |
|||
=== Общее топологическое определение === |
|||
Отображение <math>f\colon X \to Y</math> топологического пространства <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> в топологическое пространство <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> называется |
Отображение <math>f\colon X \to Y</math> топологического пространства <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> в топологическое пространство <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> называется '''непрерывным''', если [[прообраз]] любого [[Открытое множество|открытого множества]] открыт, то есть: |
||
:<math>\forall V \in \mathcal{T}_Y \quad f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X</math>. |
:<math>\forall V \in \mathcal{T}_Y \quad f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X</math>. |
||
⚫ | |||
Существуют также и другие эквивалентные определения непрерывности отображения: |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Если рассмотреть некоторое подмножество <math>A</math> множества <math>X</math>, то на этом множестве, естественным образом, [[Индуцированная топология|индуцируется топология]] <math>\mathcal{T}_A</math>, которую составляют всевозможные пересечения множества <math>A</math> с множествами, входящими в топологию <math>\mathcal{T}_X</math>. |
|||
⚫ | |||
Отображение <math>f\colon X \to Y</math>, непрерывное на множестве <math>X</math>, будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии. |
|||
В математическом анализе принято исходить из непрерывности в точке. |
|||
==== Непрерывность в точке ==== |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
Отображение непрерывно на некотором множестве, если оно непрерывно в каждой точке этого множества. Отображение непрерывно (в целом) тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке пространства. В рамках глобального топологического определения последнее утверждение является теоремой. В математическом анализе это обычно ''определение''. |
|||
Отображение, непрерывное на некотором множестве, будет непрерывным в каждой точке данного множества. |
|||
==== Эквивалентные определения ==== |
|||
Следующие ниже формулировки эквивалентны: |
|||
*прообраз всякого открытого множества открыт; |
|||
⚫ | |||
*прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения; |
|||
*предел значений последовательности точек области определения, сходящейся к некоторой точке, существует и в точности равен значению функции в данной точке; |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения. |
|||
==== Непрерывность и предел==== |
<!-- ==== Непрерывность и предел==== |
||
Непрерывность отображения определяется также на основании общего понятия сходящейся последовательности точек топологического пространства следующим образом: отображение <math>f</math> называется непрерывным в точке <math>x</math>, если для любой последовательности <math>x_n</math>, сходящейся к <math>x</math>, последовательность <math>f(x_n)</math> сходится к <math>f(x)</math>, то есть: |
Непрерывность отображения определяется также на основании общего понятия сходящейся последовательности точек топологического пространства следующим образом: отображение <math>f</math> называется непрерывным в точке <math>x</math>, если для любой последовательности <math>x_n</math>, сходящейся к <math>x</math>, последовательность <math>f(x_n)</math> сходится к <math>f(x)</math>, то есть: |
||
Строка 38: | Строка 48: | ||
<math>x_n\rightarrow x \Rightarrow f(x_n)\rightarrow f(x)</math> или <math>\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n) = f(x)</math> |
<math>x_n\rightarrow x \Rightarrow f(x_n)\rightarrow f(x)</math> или <math>\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n) = f(x)</math> |
||
Определенная таким образом непрерывность может быть названа ''секвенциальной непрерывностью'' (не является общепринятым термином). В случае, если топология удовлетворяет [[первая аксиома счётности|первой аксиоме счётности]] секвенциальная непрерывность эквивалентна общему понятию непрерывности. |
Определенная таким образом непрерывность может быть названа ''секвенциальной непрерывностью'' (не является общепринятым термином). В случае, если топология удовлетворяет [[первая аксиома счётности|первой аксиоме счётности]] секвенциальная непрерывность эквивалентна общему понятию непрерывности.--> |
||
=== Непрерывность в метрических и нормированных пространствах === |
=== Непрерывность в метрических и нормированных пространствах === |
Версия от 18:30, 9 апреля 2012
Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция в математике — это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и т.п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и т.д.
В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.
Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.
Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.
Определения
Наиболее общее определение даётся в топологии. Это определение глобально, поскольку относится ко всему пространству в целом. Также рассматриваются непрерывные функции, заданные на подмножествах топологического пространства, и тогда понятие непрерывности удобнее сначала сформулировать локально в некоторой точке, а уже потом положить, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.
Непрерывность в топологических пространствах
Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:
- .
Непрерывность на подпространстве
Если рассмотреть некоторое подмножество множества , то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология , которую составляют всевозможные пересечения множества с множествами, входящими в топологию .
Отображение , непрерывное на множестве , будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.
Непрерывность в точке
Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки , что .
Отображение, непрерывное на некотором множестве, будет непрерывным в каждой точке данного множества.
Эквивалентные определения
Следующие ниже формулировки эквивалентны:
- прообраз всякого открытого множества открыт;
- прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
- прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
- предел значений последовательности точек области определения, сходящейся к некоторой точке, существует и в точности равен значению функции в данной точке;
- образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
- замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.
Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.
Непрерывность в метрических и нормированных пространствах
В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):
Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется непрерывным в точке , если для всякого существует , что для всякого , такого, что , выполняется неравенство: .
Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.
Пусть, отображение между нормированными пространствами с нормами и соответственно. Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек , таких что выполнено неравенство ,
Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.
Непрерывные функции (функционалы)
В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала (или .), где - произвольное топологическое пространство, следующее:
Фунционал , называется непрерывным в точке , если для любого найдется окрестность этой точки, такая, что выполнено условие .
Множество непрерывных на функционалов (функций) принято обозначать . Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.
Непрерывная числовая функция
Пусть, . (или .). Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек условие влечет .
Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:
Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .
Свойства непрерывных отображений
- Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество
- Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.
- Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.
- Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.
- (Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.
- Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
- Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
- Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть - пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве . Пусть - подмножество , содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае тогда и только тогда, когда , существует , такая что .
Связанные определения
- Гомеоморфизм - непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
- Равномерная непрерывность
См. также
- Пространство непрерывных функций
- Линейный непрерывный оператор
- Предел функции
- Общая топология
- Топологическое пространство
- Открытое отображение
- Равномерная непрерывность
Ссылки
Математические Этюды Мультик про непрерывность
Примечания
Литература
Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.