Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах
Теорема Абеля, иногда назваемая теоремой Абеля — Руффини, утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени неразрешимо в радикалах[1].
Подробности
[править | править код]Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:
- При степени многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена является группа перестановок [2].
- При группа перестановок не является разрешимой[3].
Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.
Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -й степени при не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.
Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.
Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение имеет корень .
Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.
Явные формулы для степеней меньше пятой
[править | править код]Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой)[4].
История
[править | править код]Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.
Их доказательства основывались на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, которая позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.
Разрешимые типы уравнений
[править | править код]Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:
См. также
[править | править код]- Теория Галуа
- Корень Бринга
- Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
- Резольвента алгебраического уравнения
- Уравнение шестой степени
Примечания
[править | править код]- ↑ Алексеев, 2001, с. 112.
- ↑ Алексеев, 2001, с. 187.
- ↑ Алексеев, 2001, с. 50.
- ↑ Алексеев, 2001, с. 9—12.
Литература
[править | править код]- Алексеев, В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях . — М.: МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3.
- Табачников, С. Л., Фукс, Д. Б. Математический дивертисмент. Лекция 5 . — МЦНМО, 2011. — 512 с. — ISBN 978-5-94057-731-7.
- Bosch, S.. Algebra (нем.). — 6. Auflage. — Springer, 2006. — ISBN 3-540-29880-0.
- Dehn, E.. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois (англ.). — New York: Columbia University Press, 1930.
- Fraleigh, J. B.. A First Course in Abstract Algebra (англ.). — Seventh Edition. — Pearson Education Limited, 2014. — ISBN 1-292-02496-8.
- Stewart, I. Galois Theory (англ.). — Second edition. — Chapman & Hall, 1989. — ISBN 978-94-010-6864-2.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Abel's Impossibility Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Galois's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- David Terr & Eric W. Weisstein. Galois Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Solvable Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.