Троичная логика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Трои́чная ло́гика (трёхзначная логика) — один из видов многозначной логики, предложенный Яном Лукасевичем в 1920 году. Трёхзначная логика — исторически первая многозначная логика. Она является простейшим расширением двузначной логики.

Чёткую математическую троичную логику, в которой имеется три чётких значения (0,1,2), (-1,0,+1), (0,1/2,1) и т. п. часто путают с нечёткой троичной логикой, которая является частным случаем нечёткой логики c тремя значениями, одно, два или все три из которых нечёткие.

Перечень значений нечёткой трёхзначной логики с двумя чёткими и с одним нечётким значением помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое нечётко и трактуется как «не определено» или «неизвестно».

Примерами значений нечёткой трёхзначной логики с одним чётким и с двумя нечёткими значениями являются: («меньше», «равно», «больше»), («уклон влево», «прямо», «уклон вправо») и другие.

Примерами значений нечёткой трёхзначной логики с тремя нечёткими значениями, к которым сводится очень большое количество практических народнохозяйственных задач, являются: («меньше», «равно, в допустимых пределах», «больше»), («уклон влево», «прямо, в допустимых пределах», «уклон вправо»), («холодно», «прохладно», «жарко») и другие.

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Троичная логика, в отличие от двоичной, небулево кольцо и обладает собственным математическим аппаратом. Он состоит из системы аксиом, которые определяют над множеством {"1", «0», «1»} одноместные и двухместные операции, а также выводимые из них свойства.

Для конъюнкции и дизъюнкции в тройной логике сохраняются коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный) и дистрибутивный (распределительный) законы.

Несколько свойств образуются благодаря особенности отрицания Лукасевича:

  • \lnot \bar{1} = 1
  • \lnot (x \land \bar{1}) = \lnot x \lor 1

Однако из-за наличия третьего состояния некоторые законы двоичной логики оказываются неверными, для них сформулированы троичные аналоги. Так, вместо закона противоречия стали применять закон несовместности состояний, вместо закона исключённого третьего — закон полноты состояний (закон исключённого четвёртого), вместо неверного закона Блейка—Порецкого применяют трёхчленный закон Блейка—Порецкого.

Физическая реализация[править | править вики-текст]

При физической реализации троичным функциям в троичной логике соответствуют троичные логические элементы, в общем случае не обязательно электронные.

Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП-технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная. Например, существует лишь 16 комбинаций входов-выходов двухвходового двоичного вентиля, тогда как у аналогичного троичного вентиля таких комбинаций 19683.[1]

На основе троичных элементов — троичной ферритодиодной ячейки разработки Николая Брусенцова — в 1959 году в вычислительном центре МГУ спроектирована малая ЭВМ «Сетунь», выпущена в 46 экземплярах.

Логики[править | править вики-текст]

Логики Клини и Приста[править | править вики-текст]

Ниже показаны таблицы истинности для логических операций «Сильной логики неопределённости» (strong logic of indeterminacy) Стивена Клини и «Парадоксальной логики» (logic of paradox) Приста. Обе логики имеют три логических значения — «истина», «ложь» и «неопределённость», которые к логике Клини обозначаются буквами T (True), F (False), U (Unknown), а в логике Приста числами 1, 0 и –1.

(F: FALSE, U: UNKNOWN, T: TRUE)
NOT(A)
A ¬ A
F T
U U
T F
AND(A, B)
AB B
F U T
A F F F F
U F U U
T F U T
OR(A, B)
AB B
F U T
A F F U T
U U U T
T T T T
(−1: FALSE, 0: UNKNOWN, +1: TRUE)
NEG(A)
A ¬ A
−1 +1
0 0
+1 −1
MIN(A, B)
AB B
−1 0 +1
A −1 −1 −1 −1
0 −1 0 0
+1 −1 0 +1
MAX(A, B)
AB B
−1 0 +1
A −1 −1 0 +1
0 0 0 +1
+1 +1 +1 +1

Значение U присваивается выражениям, которые реально имеют значение T или F, но в данный момент это значение по каким-то причинам неизвестно, в результате чего возникает неопределённость. Тем не менее, результат логической операции с величиной U может оказаться определённым. Например, поскольку T & F = F и F & F = F, то и U & F = F. В более общем виде: если для некоторой логической операции OPER выполняется соотношение OPER(F,F)=OPER(F,T), то OPER(F,U)=OPER(F,F)=OPER(F,T). Аналогично, если OPER(T,F)=OPER(T,T), то OPER(T,U)=OPER(T,F)=OPER(T,T).

При численном обозначении логических значений (–1, 0, 1) логические операции эквивалентны следующим численным операциям:

\bar{X}=-X;
X \lor Y = max(X,Y);
X \land Y = min(X,Y).


Операция импликации в логиках Клини и Приста определяется формулой, аналогичной формуле двоичной логики:

 X \rightarrow Y \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \bar{X} \lor Y.

Таблицы истинности для неё

IMPK(A, B), OR(¬A, B)
A B B
T U F
A T T U F
U T U U
F T T T
IMPK(A, B), MAX(−A, B)
A B B
+1 0 −1
A +1 +1 0 −1
0 +1 0 0
−1 +1 +1 +1

Это определение отличается от определения импликации, принятого в логике Лукасевича.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Васильев Н. И. Воображаемая логика. — М.: Наука, 1989.
  • Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. — М.: Наука, 1997.
  • Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. — М.: Мир, 1973.
  • Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: Иностранная литература, 1959.
  • Слинин Я. А. Современная модальная логика. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976.
  • Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967.
  • Гетманова А. Д. Учебник по логике. — М.: Владос, 1995. — С. 259—268. — 303 с. — ISBN 5-87065-009-7.
  • Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. — М.: Машиностроение, 1990. — 560 с. — ISBN 5-217-00617-X.

Ссылки[править | править вики-текст]