Алгебра логики

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Двоичная логика»)
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями[1]. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.

Определение[править | править вики-текст]

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания.

Высказывания строятся над множеством {B, , , , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

отрицание (унарная операция),
конъюнкция (бинарная),
дизъюнкция (бинарная),

а логический ноль 0 и логическая единица 1константы.

Так же используются названия

Унарная операция отрицания в тексте формул оформляется либо в виде значка перед операндом () либо в виде черты над операндом (), что компактнее, но в целом менее заметно.

Аксиомы[править | править вики-текст]

  1. , инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания

Логические операции[править | править вики-текст]

Простейший и наиболее широко применяемый пример такой алгебраической системы строится с использованием множества B, состоящего всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать[неопределённость], что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквиваленция («тогда и только тогда, когда»), импликация («следовательно»), сложение по модулю два исключающее или»), штрих Шеффера , стрелка Пирса и другие.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы;  — немодульного сложения; & — умножения;  — равенства;  — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR);  — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено»), комплексную логику и др.

Свойства логических операций[править | править вики-текст]

  1. Коммутативность: .
  2. Идемпотентность: .
  3. Ассоциативность: .
  4. Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю два соответственно:
    • ,
    • ,
    • .
  5. Законы де Мо́ргана:
    • ,
    • .
  6. Законы поглощения:
    • ,
    • .
  7. Другие (1):
    • .
    • .
    • .
    • .
    • , инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.
  8. Другие (2):
    • .
    • .
    • .
    • .
  9. Другие (3) (Дополнение законов де Мо́ргана):
    • .
    • .

Существуют методы упрощения логической функции: например, Карта Карно, метод Куайна - Мак-Класки

История[править | править вики-текст]

Своим существованием наука «алгебра логики» обязана английскому математику Джорджу Булю, который исследовал логику высказываний. Первый в России курс по алгебре логики был прочитан П. С. Порецким в Казанском государственном университете.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Алгебра логики // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.