Булево кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Булево кольцо — кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо , в котором для всех [1][2][3].

Связь с булевой алгеброй[править | править код]

Самый известный пример булева кольца получается из булевой алгебры введением сложения и умножения следующим образом:

  • ,
  • .

В частности, булеан некоторого множества образует булево кольцо относительно симметрической разности и пересечения подмножеств. В связи с этим основным примером, вводящим сложение в булевом кольце как «исключающее или» для булевых алгебр, а умножение — как конъюнкцию, для сложения в булевых кольцах иногда используются символ , а для умножения — знаки решёточной нижней грани (, , ).

Всякое булево кольцо, полученное таким образом из булевой алгебры, обладает единицей, совпадающей с единицей исходной булевой алгебры. Кроме того, всякое булево кольцо с единицей однозначно определяет булеву алгебру следующими определениями операций:

  • ,
  • ,
  • .

Свойства[править | править код]

В каждом булевом кольце выполнено как следствие идемпотентности относительно умножения:

,

и так как в кольце является абелевой группой, то можно вычесть компонент из обеих частей этого уравнения.

Всякое булево кольцо коммутативно, что также является следствием идемпотентности умножения:

,

что даёт , что, в свою очередь, означает .

Всякое нетривиальное конечное булево кольцо является прямой суммой полей вычетов по модулю 2 () и обладает единицей.

Факторкольцо любого булева кольца по произвольному идеалу также является булевым кольцом. Таким же образом, любое подкольцо некоторого булева кольца является булевым кольцом. Каждый простой идеал в булевом кольце является максимальным: факторкольцо является областью целостности, а также булевым кольцом, поэтому оно изоморфно полю , что показывает максимальность . Так как максимальные идеалы всегда простые, понятия простого и максимального идеалов совпадают для булевых колец.

Булевы кольца являются абсолютно плоскими, то есть любой модуль над ними является плоским.

Каждый конечный идеал булева кольца является главным.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]