Космологическое уравнение состояния

Космологическое уравнение состояния (уравнение состояния космологической модели) — зависимость давления от плотности энергии определённой среды. В космологии принимают, что давление $P$ зависит линейно от плотности энергии $\varepsilon$: $P=w\varepsilon \,.$ Уравнение состояния определяет, как со временем происходит расширение Вселенной и изменение плотности энергии самой среды. Для нерелятивисткого вещества безразмерные коэффициент пропорциональности $w_{m}=0\,,$ для излучения и релятивистских частиц $w_{r}=1/3\,.$ Среда с уравнением состояния, для которого $w<-1/3$ приводит к ускорению расширения Вселенной и называется тёмной энергией; наиболее общепринятым вариантом тёмной энергии является космологическая постоянная с $w_{\Lambda }=-1\,.$

Описание

Уравнения состояния в общем виде могут иметь сложный вид, но поскольку космология обычно имеет дело с разреженными средами, то зависимость давления $P$ от плотности энергии $\varepsilon$ представляют в линейном виде: $P=w\varepsilon$, где $w$ ― безразмерная величина.

Уравнение состояния различных сред во Вселенной и их плотность — параметры, от которых зависит расширение Вселенной. Его можно описать следующими уравнениями:

Уравнение Фридмана:

$\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\varepsilon -{\frac {\kappa c^{2}}{R^{2}a^{2}}}$

Закон сохранения:

${\dot {\varepsilon }}+3{\frac {\dot {a}}{a}}(\varepsilon +P)=0$

Уравнение ускорения:

${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\varepsilon +3P)$

Третье уравнение выводится из первых двух, так что в этой системе два независимых уравнения. В этих уравнениях $a$ — масштабный коэффициент ― величина, описывающая расширение или сжатие Вселенной, $G$ — гравитационная постоянная, $c$ — скорость света, $\kappa$ — кривизна Вселенной (принимает значения $0$ для плоского пространства, $+1$ для пространства с положительной кривизной и $-1$ с отрицательной), $R$ ― радиус кривизны Вселенной. Точка или две точки над символом означает, соответственно, производную по времени или производную второго порядка по времени.

В этих уравнениях три неизвестных функции от времени: $a(t)$, $\varepsilon (t)$, $P(t)$. Уравнение состояния даёт связь между двумя последними неизвестными, что позволяет решить систему уравнений. От его типа зависит вид решения. Например, у сред с различными коэффициентами $w$ плотность энергии при расширении Вселенной меняется по-разному: из закона сохранения можно получить соотношение $\varepsilon \propto a^{-3-3w}\,.$ При этом среды с различными уравнениями состояния могут сосуществовать одновременно: если между ними не происходит обмен энергией, то при расширении Вселенной плотность энергии каждой из сред меняется независимо от остальных. Для Вселенной с нулевой кривизной, содержащей только среду с определённым уравнением состояния, функция $a(t)$ также будет зависеть от $w$:

$a(t)=\left({\frac {t}{t_{0}}}\right)^{\frac {2}{3+3w}},$

где $t_{0}$ — возраст Вселенной в данный момент. Для такой однокомпонентной Вселенной возраст можно выразить через $w$ и постоянную Хаббла $H_{0}={\dot {a}}/a$ в момент $t_{0}$:

$t_{0}={\frac {2}{3(1+w)}}H_{0}^{-1}\,.$

В этом же случае плотность энергии меняется со временем как $\varepsilon (t)=(t/t_{0})^{-2}\,,$ независимо от $w$. Приведённые формулы справедливы для $w\neq -1$.

Можно рассмотреть обычное нерелятивистское вещество. Давление в нём пренебрежимо мало по сравнению с плотностью энергии (см. ниже), так что $w=0$. Если вся Вселенная состоит из обычного вещества, то при расширении Вселенной и росте $a$ плотность энергии такого вещества уменьшается, как следует из закона сохранения. Уравнение ускорения показывает, что ${\ddot {a}}/a<0\,,$ то есть, расширение Вселенной замедляется — это можно упрощённо интерпретировать как простое следствие гравитационного взаимодействия, которое замедляет разлёт частиц. Если же представить ${\textstyle w<-1/3}$, то это будет означать, что при положительной плотности энергии, наоборот, Вселенная расширяется ускоренно ― это случай тёмной энергии (см. ниже).

Уравнения состояния различных сред

Сценарии дальнейшего развития Вселенной в зависимости от плотности материи $\Omega _{m}$ и космологической постоянной $\Omega _{\Lambda }$. Разноцветные закрашенные области обозначают ограничения на параметры, задаваемые различными наблюдательными данными: реальная величина параметров должна находиться на их пересечении или поблизости

Материя

В качестве примера можно рассмотреть разреженный газ, состоящий из нерелятивистских частиц. Уравнение состояния идеального газа обычно записывают в следующем виде:

$P={\frac {\rho }{\mu }}kT,$

где $\rho$ — массовая плотность, $\mu$ — молярная масса газа, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — температура. Чтобы перейти к выражению давления через плотность энергии, нужно учесть, что у нерелятивистского газа энергия практически равна энергии покоя, так что $\varepsilon \approx \rho c^{2}\,.$ Тогда можно записать:

$P\approx {\frac {kT}{\mu c^{2}}}\varepsilon \,.$

Поскольку газ нерелятивистский, то для среднеквадратичной скорости его частиц $\langle v^{2}\rangle$ верно соотношение $3kT=\mu \langle v^{2}\rangle$, где предполагается $\langle v^{2}\rangle \ll c^{2}\,.$ Уравнение состояния можно привести к виду $P=w_{m}\varepsilon \,,$ где:

$w_{m}\approx {\frac {\langle v^{2}\rangle }{3c^{2}}}\ll 1\,.$

Таким образом, для нерелятивистского вещества можно считать $w_{m}=0\,.$ Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть холодной материей, либо просто материей, противопоставляя ей излучение (см. ниже). К ней относится не только нерелятивистское барионное вещество, сейчас составляющее 4,8 % критической плотности Вселенной, но и холодная тёмная материя — принятый в стандартной модели ΛCDM вид тёмной материи, которая составляет 26 % критической плотности и имеет неизвестную природу.

Для частично релятивистского вещества, у которого $0<\langle v^{2}\rangle <c^{2}\,,$ $w$ будет находиться в диапазоне от 0 до 1/3.

Излучение

Уравнение состояния для фотонов, а также для релятивистского газа записывается в виде:

$P\approx {\frac {1}{3}}\varepsilon \,.$

Соответственно, $w_{r}=1/3\,.$ Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть горячей материей, либо излучением. В современной Вселенной плотность излучения очень мала: фотоны, в основном относящиеся к реликтовому излучению, составляют 5,4⋅10⁻⁵ критической плотности, а релятивистские нейтрино ― 3,6⋅10⁻⁵ критической плотности. Из-за такого уравнения состояния плотность излучения убывает с расширением Вселенной как $\varepsilon _{r}\propto a^{-4}\,,$ что быстрее, чем убывание плотности материи как $\varepsilon _{m}\propto a^{-3}\,.$ Плотности материи и излучения были равны, когда Вселенной было 50 миллионов лет ― сейчас её возраст составляет 13,7 миллиардов лет.

Более быстрый спад плотности энергии излучения при расширении Вселенной можно интерпретировать следующим образом. Концентрация $n$ и для фотонов, и для нерелятивистских частиц меняется с масштабным коэффициентом как $n\propto a^{-3}\,.$ Для нерелятивистских частиц, энергия которых практически полностью обусловлена энергией покоя, такую же пропорциональность имеет и плотность энергии. Энергию фотона $E$ можно выразить через его длину волны $\lambda$: $E=hc/\lambda \,,$ где $h$ — постоянная Планка. Поскольку длина волны фотона увеличивается вместе с расширением Вселенной — $\lambda \propto a$, то для фотонов $\varepsilon _{r}=nE=n(hc/\lambda )\propto a^{-3}a^{-1}=a^{-4}$.

Кривизна пространства

Кривизну пространства также можно представить в виде составляющей Вселенной и использовать плотность кривизны в уравнениях, описывающих расширение Вселенной. Для кривизны $w_{K}=-1/3$ и $\varepsilon _{K}\propto a^{-2}\,.$ Плотность кривизны точно определяется через радиус кривизны:

$\varepsilon _{K}=-{\frac {3}{8\pi Ga^{2}R^{2}}}\,.$

Наблюдения показывают, что наша Вселенная практически плоская, с радиусом кривизны гораздо большим, чем радиус горизонта, и плотность кривизны считают нулевой.

Тёмная энергия

Различные среды с уравнениями состояния, для которых $w<-1/3$, называют тёмной энергией. Особенность такого уравнения состояния в том, что при положительной плотности тёмной энергии уравнение ускорения даёт ${\ddot {a}}/a>0\,,$ что означает ускоренное расширение Вселенной. Тёмная энергия имеет неизвестную природу, но поскольку ускоренное расширение Вселенной наблюдается в действительности, тёмная энергия — необходимая составляющая Вселенной.

Наиболее общепринятый вариант тёмной энергии — космологическая постоянная (лямбда-член) с $w_{\Lambda }=-1\,.$ При таком уравнении состояния плотность тёмной энергии остаётся постоянной при расширении Вселенной, поэтому космологическую постоянную также интерпретируют как энергию вакуума. Плоская Вселенная, в которой доминирует космологическая постоянная, будет расширяться экспоненциально: $a(t)=e^{H_{0}(t-t_{0})}$.

В модели ΛCDM используется именно этот вид тёмной энергии, её плотность составляет 69 % критической плотности. В возрасте Вселенной в 10,2 миллиарда лет доли материи и космологической постоянной во Вселенной были равны. Кроме того, космологическая постоянная — исторически первый рассмотренный вид тёмной энергии: первоначально Альберт Эйнштейн ввёл его для построения модели стационарной Вселенной в 1917 году.

Тем не менее, не исключены и другие уравнения состояния тёмной энергии. Например, возможный вариант тёмной энергии с $w<-1$ называется фантомной энергией — при расширении её плотность энергии возрастает. Если в расширяющейся Вселенной присутствует фантомная энергия, то её плотность рано или поздно будет превышать плотность энергии любых гравитационно связанных систем и других тел, что приведёт к их разрушению, а масштабный коэффициент достигнет бесконечности за конечное время — это сценарий Большого разрыва.

Также не исключена и возможность того, что $w$ тёмной энергии меняется со временем — подобный вид тёмной энергии называют квинтэссенцией.

Литература

• Вайнберг С. Космология. — М.: УРСС, 2013. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1.
• Ryden B. Introduction to Cosmology. — Cambridge University Press, 2017. — 277 с. — ISBN 978-1-107-15483-4.