Ферми-газ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рмиДира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре[править | править вики-текст]

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при равна . То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа с частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия такого газа при будет отличной от нуля.

Величину несложно вычислить. Обозначим через энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при . При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже заняты, а все квантовые состояния с энергией выше — свободны.

Поэтому должно существовать ровно состояний с энергией ниже или равной . Этого условия достаточно для нахождения . Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на :

где — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число , для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от до , величины импульса самого высокого заполненного при состояния с энергией , и приравнивая результат к , получаем с учетом того, что :

или для электронов с :

Величину , наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре[править | править вики-текст]

Для ненулевых значений параметра плотность числа электронов в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний

на множитель , который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

где величина химический потенциал при , а — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям , то можно определить как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в полного числа частиц . Отсюда видно, что для величина есть функция параметров и .

Энергию можно найти из соотношения:

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

в котором функция есть некоторая простая и непрерывная функция от , например или , и

Следует отметить, что величина имеет порядок от до К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

которое выражает химический потенциал через параметры и .

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — . Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

Ссылки[править | править вики-текст]