Бикватернион

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Определение[править | править код]

Бикватернионы можно описать как множества чисел вида «»,   где w, x, y, z — есть те или иные «специальные комплексные числа». Альтернативный способ введения — Процедура Кэли — Диксона: это гиперкомплексные числа вида «»,  где a, b — любые кватернионы, а I — «мнимая единица расширения». Известны три разных вида бикватернионов, в зависимости от того, какого типа «комплексные» числа положены в основу этого представления (иначе говоря, каковы свойства расширяемой операции умножения для числа «I»):

История и применения[править | править код]

Об ординарных бикватернионах написал Гамильтон в 1844 г. (см. Труды Ирландской Королевской Академии 1844 и 1850 стр.388). В число наиболее видных сторонников этих бикватернионов следует включить Александра Макфарлейна (en:Alexander Macfarlane), Артура У. Конвея, Людвика Зильберштейна (en:Ludwik Silberstein) и Корнелиуса Ланцоша. Единичная квази-сфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца, на которой основана специальная теория относительности.

Двойные кватернионы изучал Уильям Клиффорд. Дуальные кватернионы инструментально обеспечивают нестандартный анализ обычных кватернионов. Далее, если не оговорено, речь идёт об ординарных бикватернионах.

Свойства[править | править код]

«Алгебра бикватернионов» есть тензорное произведение алгебр (взятое над вещественными числами), где  — та или иная алгебра комплексных чисел, а  — алгебра обычных (вещественных) кватернионов. Как -алгебра бикватернионы изоморфны алгебре комплексных матриц 2x2 M2().


Матричное представление[править | править код]

Есть три комплексные матрицы, для которых: =   Притом квадрат каждой из этих матриц есть «минус единичная матрица», а если произведению этих матриц сопоставить произведение чисел . Получаем, что порождаемая этим матрицами подгруппа матричной группы изоморфна группе кватернионов. Следовательно, если сопоставить матрице бикватернион , то для данной 2×2 комплексной матрицы, всегда существуют комплексные величины в этой форме. Иначе говоря, кольцо комплексных матриц изоморфно[1] кольцу (ординарных) бикватернионов.

Скалярно-векторное представление[править | править код]

Произвольный бикватернион есть сумма (связка) комплекснозначных числа («скаляра») и трёхмерного вектора [2]:

Возможны два типа скалярно-векторного представления в зависимости от вида произведения двух бикватернионов. Оба представления эквивалентны. В случае стандартного представления произведение и имеет вид[3]:

,

где и  — скалярное и векторное произведения соответственно.

В случае комплексного представления[4]:

Так определённое произведение для двух вещественных бикватернионов даёт в общем случае комплекснозначный бикватернион.

Бикватернион, сопряженный данному , есть:

Квадрат модуля бикватерниона есть комплексное число:

Последний обладает свойством мультипликативности:

Операции сопряжения и комплексного сопряжения, примененные к произведению бикватернионов, меняют порядок сомножителей:

Все бикватернионы подразделяются на нулькватернионы — с нулевым квадратом модуля, и остальные — ненулевые бикватернионы. Каждый из этих классов замкнут относительно операции умножения.

Подалгебры[править | править код]

При рассмотрении (ординарных) бикватернионов как алгебры над полем вещественных чисел , набор образует базис, эта алгебра имеет вещественную размерность пространства восемь. Притом квадраты всех элементов равны . Значит, вещественная подалгебра, образуемая изоморфна кольцу, которое образуют двойные числа (с алгебраической структурой аналогичной строящейся над единичной гиперболой). Элементы определяют такие же подалгебры.

Элементы образуют подалгебру изоморфную бикомплексным числам (tessarine).

Третий вид подалгебры, т. н. «кокватернионы», порождается , так как вещественное линейное подпространство с базисом замкнуто по умножению (ведь . Указанный базис образует диэдральную группу квадрата, а кокватернионы изоморфны алгебре вещественных матриц 2х2.

Квантовая механика и спинорная алгебра трактуют бикватернионы (или их отрицание), рассматривая их в преставлении , как матрицы Паули.

Примечания[править | править код]

  1. Leonard Dickson (1914) Linear Algebras, § 13 «Equivalence of the complex quaternion and matric algebras», p.13
  2. L. Silberstein, Quaternionic Form of Relativity, Philos. Mag. S., 6, Vol. 23, № 137, pp.790-809, 1912.
  3. А. А. Алексеева, Дифференциальная алгебра бикватернионов. Преобразования Лоренца биволновых уравнений, Математический журнал, Алматы, Vol. 10, № 35, 2010, с.33-41
  4. С. Я. Котковский, Нульвекторная алгебра, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 12:2(23), 2015, с.59-172

Ссылки[править | править код]