Процедура Кэли — Диксона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Процедура Кэли — Диксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом), с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением.

Общий случай[править | править вики-текст]

Если для некоторых чисел и существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел :

  •  — закон умножения пар,
  •  — сопряжённая пара.

Свойства[править | править вики-текст]

  • (расширенная) норма упорядоченной пары:
 — равна нулю только при a = b = 0.
  • Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление определяется как или  — значит из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.
  • Если для чисел выполняется это выполняется и для упорядоченных пар:

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые[править | править вики-текст]

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или xx* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней (англ. power associative).

Ослабляемые[править | править вики-текст]

  1. Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
  2. Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
  3. Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или xx* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т.к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения[править | править вики-текст]

Комплексные числа[править | править вики-текст]

Процедура Кэли—Диксона соответсвует определению комплексных чисел, как упорядоченных пар вещественных чисел.

Кватернионы[править | править вики-текст]

Произвольный кватернион   можно представить в виде или эквивалентно где комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .

Возьмём ещё один кватернион Перемножив и раскрыв скобки (т.к. умножения кватернионов ассоциативно) получим:

.

Поскольку то переставляя множители получим:

Следовательно кватернионы можно определять как выражения, вида , удовлетворяющие вышеприведенной формуле умножения. Данная формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т.е. кватернионов с ).

Обобщения[править | править вики-текст]

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имела квадрат равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять[1] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда тогда норма и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Albert A.A. «Quadratic forms permitting composition». Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177

Ссылки[править | править вики-текст]