Процедура Кэли — Диксона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Процедура Кэли — Диксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).

Свойства алгебр Кэли — Диксона
Алгебра Размер-
ность

(n)
Упорядо-
ченность
Свойства умножения Отсутствие
нетрив.
делителей
нуля
Коммута-
тивность
Ассоциа-
тивность
Альтерна-
тивность
Степенная
ассоциа-
тивность
Действитель-
ные числа
()
1 Да Да Да Да Да Да
Комплексные
числа
()
2 Нет Да Да Да Да Да
Кватернионы () 4 Нет Нет Да Да Да Да
Октонионы () 8 Нет Нет Нет Да Да Да
Седенионы () 16 Нет Нет Нет Нет Да Нет
> 16

Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению[1] являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.

В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности[2]:45.

Общий случай[править | править код]

Если для некоторых чисел и существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел :

  •  — закон умножения пар,
  •  — сопряжённая пара.

Свойства[править | править код]

  • (расширенная) норма упорядоченной пары:
 — равна нулю только при a = b = 0.
  • Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление определяется как или  — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.
  • Если для чисел выполняется это выполняется и для упорядоченных пар:

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые[править | править код]

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или xx* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.

Ослабляемые[править | править код]

  1. Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
  2. Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
  3. Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или xx* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т.к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения[править | править код]

Комплексные числа[править | править код]

Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.

Кватернионы[править | править код]

Произвольный кватернион   можно представить в виде или, эквивалентно, где комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .

Возьмём ещё один кватернион Перемножив и раскрыв скобки (т.к. умножение кватернионов ассоциативно), получим:

.

Поскольку то, переставляя множители, получим:

Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида , удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т.е. кватернионов с ).

Обобщения[править | править код]

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имеет квадрат, равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять[3] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда, тогда норму и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Примечания[править | править код]

  1. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа (рус.). — Москва: Наука, 1973. — С. 33—34. — 144 с.
  2. Schafer, Richard D. (1995), An introduction to non-associative algebras, Dover Publications, ISBN 0-486-68813-5, <https://archive.org/details/introductiontono0000scha> 
  3. Альберт, Абрахам Адриан. Quadratic forms permitting composition. Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177

Ссылки[править | править код]