Гипервещественное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипервещественные числа или гипердействительные числарасширение поля вещественных чисел , которое содержит числа, большие, чем все представимые в виде конечной суммы

Термин англ. hyper-real number был введен Хьюиттом в 1948.[1].

Формальное определение[править | править вики-текст]

Система гипервещественных представляет собой строгий метод исчисления бесконечных и бесконечно малых величин. Множество гипервещественных чисел представляет собой упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел , которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического закона непрерывности[en] Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об справедливы и для . Например, правило аддитивности х + у = у + х, справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955).

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления другие методы, в частности, метод исчерпывания. В 1960 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества, содержащего бесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производной и интеграла напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, производная становится для бесконечно малого , где означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чисел[править | править вики-текст]

Положим, что является тихоновским пространством, которое также называется пространством, а — алгебра непрерывных вещественных функций на . Пусть есть максимальный идеал в . Тогда факторкольцо , является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейно упорядоченное множество. Если строго содержит , то называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта,1948), а  — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля больше, чем у поля , они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство является дискретным пространством, в этом случае можно отождествить с мощностью множества κ и с вещественной алгеброй функций κ от . Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями[en] и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)

Литература[править | править вики-текст]

Успенский В. А. (1987). Что такое нестандартный анализ? М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы.