Дуальные числа

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида $a+\varepsilon b$, где $a$ и $b$ — вещественные числа, а $\varepsilon$ — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел $a$ и $b$. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел $\mathbb {R}$. В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид $a\varepsilon$. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами, хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определение

Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида $(a,\;b)$, для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

$\ (a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}+b_{2})$

$\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$

Числа вида $(a,\;0)$ отождествляются при этом с вещественными числами, а число $(0,\;1)$ обозначается $\varepsilon$, после чего определяющие тождества примут вид:

$\varepsilon ^{2}=0,\quad (a,\;b)=a+b\varepsilon$

$(a_{1}+\varepsilon b_{1})+(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}+a_{2})+\varepsilon (b_{1}+b_{2}),$

$(a_{1}+\varepsilon b_{1})(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}a_{2})+\varepsilon (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).$

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо $\mathbb {R} [x]/(x^{2})$ кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом $x^{2}$.

Матричное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим $\varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$. Тогда произвольное дуальное число примет вид

$a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$.

Показательная форма

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

$\mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x$

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

$\mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+{\frac {(\varepsilon x)^{2}}{2!}}+{\frac {(\varepsilon x)^{3}}{3!}}+\cdots$

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

$\sinh \varepsilon x=\sin \varepsilon x=\varepsilon x$

$\cosh \varepsilon x=\cos \varepsilon x=1$

Арифметические операции

• Сложение

  $(a+b\varepsilon )+(c+d\varepsilon )=(a+c)+(b+d)\varepsilon$

• Вычитание

  $(a+b\varepsilon )-(c+d\varepsilon )=(a-c)+(b-d)\varepsilon$

• Умножение

  $(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$

• Деление

  ${\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon$

Корни

Корень n-й степени из числа вида $a+\varepsilon b$ определяется как

${\sqrt[{n}]{a}}+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1}}}}}.$

Дифференцирование

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию $f(x)$, область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

$f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).$

Почему это так

Как известно,

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k},$

то есть

$(x+y\varepsilon )^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{n-k}(y\varepsilon )^{k},\qquad (1)$

но так как все степени $\varepsilon$ больше единицы равны нулю, то

$(x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .$

Теперь рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена (с разложением в ряд Тейлора все аналогично):

$f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.$

Рассмотрим ту же функцию от дуального аргумента:

$f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k}}{k!}}.$

По формуле (1) получаем

$f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1}y\varepsilon }{k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!}}+y\varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.$

Второе слагаемое — не что иное, как разложение в ряд производной функции $f$, то есть

$f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).$

Q.E.D.

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) $\varepsilon$ в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если $\delta$ — бесконечно малое число, то с точностью до $o(\delta )$ кольцо гипердействительных чисел вида $\mathbb {R} +\mathbb {R} \delta$ изоморфно кольцу дуальных чисел.

Литература

• И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.
• V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024  (англ.)