Дуальные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типагиперкомплексные числа вида , где и  — вещественные числа, а  — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами[1], хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определение[править | править вики-текст]

Алгебраическое определение[править | править вики-текст]

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида , для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

Числа вида отождествляются при этом с вещественными числами, а число обозначается , после чего определяющие тождества примут вид:

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом .

Линейное представление[править | править вики-текст]

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим . Тогда произвольное дуальное число примет вид

.

Показательная форма[править | править вики-текст]

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

Арифметические операции[править | править вики-текст]

  • Сложение
  • Вычитание
  • Умножение
  • Деление

Корни[править | править вики-текст]

Корень n-й степени из числа вида определяется как:

Дифференцирование[править | править вики-текст]

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию , область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что


Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если  — бесконечно малое число, то с точностью до кольцо гипердействительных чисел вида изоморфно кольцу дуальных чисел.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дж. Хамфри. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — см. стр. 121

Литература[править | править вики-текст]