Эксперимент Кавендиша

Экспериме́нт Ка́вендиша — эксперимент по измерению средней плотности Земли с помощью крутильных весов, осуществлённый Генри Кавендишем в 1797—1798 годах. Был первым экспериментом по изучению гравитационного взаимодействия между телами в лабораторных условиях. Также был первым экспериментом, в котором плотность Земли была измерена с удовлетворительной точностью (но не первым вообще). Впоследствии, по полученным в эксперименте данным, была вычислена гравитационная постоянная $G$.

История

Установление Ньютоном закона всемирного тяготения явилось важнейшим событием в истории физики. Его значение определяется, прежде всего, универсальностью гравитационного взаимодействия. На законе всемирного тяготения основывается один из центральных разделов астрономии — небесная механика. Мы ощущаем силу притяжения к Земле, однако притяжение малых тел друг к другу неощутимо. Требовалось экспериментально доказать справедливость закона всемирного тяготения и для обычных тел. Именно это и сделал Кавендиш, попутно определив среднюю плотность Земли.

Современное выражение закона всемирного тяготения:

$F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over R^{2}},$

где $G$ — гравитационная постоянная, $m_{1}$ и $m_{2}$ — массы материальных точек, $R$ — расстояние между ними, a $F$ — сила взаимодействия между ними.

До начала XIX века константа G в закон всемирного тяготения не вводилась, так как для всех расчётов в небесной механике достаточно использовать постоянные GM, имеющие кинематическую размерность. Постоянная G появилась впервые, по-видимому, только после унификации единиц и перехода к единой метрической системе мер в конце XVIII века. Численное значение G можно вычислить через среднюю плотность Земли, которую нужно было определить экспериментально. Очевидно, что при известных значениях плотности ρ и радиуса R Земли, а также ускорения свободного падения g на её поверхности можно найти G:

$g={GM_{\oplus } \over R_{\oplus }^{2}}={F \over m},$

$F=G{M_{\oplus }m \over R_{\oplus }^{2}}={V_{\oplus }\rho _{\oplus }mG \over R_{\oplus }^{2}}={4\pi R_{\oplus }^{3}\rho _{\oplus }mG \over 3R_{\oplus }^{2}}={4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }mG \over 3},$

$G={3 \over 4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }}\cdot {F \over m}={3g \over 4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }}.$

Первоначально эксперимент был предложен Джоном Мичеллом. Именно он сконструировал главную деталь в экспериментальной установке — крутильные весы, однако умер в 1793, так и не поставив опыта. После его смерти экспериментальная установка перешла к Генри Кавендишу. Кавендиш модифицировал установку, провёл опыты и описал их в Philosophical Transactions в 1798 году. Для своего времени эта установка явилась беспримерным шедевром искусства физического эксперимента.

Детали эксперимента

Подробное описание установки и протоколы эксперимента, составленные Г. Кавендишем, приведены с некоторыми сокращениями в русском переводе в книге Голина Г. М. и Филоновича С. Р. Классики физической науки.

Крутильные весы

Установка представляла собой деревянное коромысло длиной около 1,8 м с прикреплёнными к его концам небольшими свинцовыми шарами диаметром 5 см и массой 11 262 грана (0,7298 кг), подвешенное на нити из посеребрённой меди длиной 1 м. К этим шарам с помощью специальной поворотной фермы, ось вращения которой совпадает насколько возможно точно с осью нити, подводились два свинцовых шара бо́льшего размера — диаметром 12 дюймов (около 30 см) и массой 2 439 000 гран (158 кг), жёстко закреплённые на ферме, таким образом, что расстояние между центрами большого и малого шара составляло около 8,85 дюйма (22,5 см). Вследствие гравитационного взаимодействия малых шаров с большими коромысло отклонялось на некоторый угол. Зная упругие свойства нити, а также угол поворота коромысла, можно вычислить силу притяжения малого шара к большому, а отсюда и гравитационную постоянную.

Упругость нити на кручение определялась, исходя из периода свободных колебаний коромысла, который составлял в разных вариантах эксперимента 14—15 или 7 минут.

Поскольку измеряемые силы ничтожно малы (около 0,17 микроньютона, что примерно в 50 млн раз меньше веса малого шара), Кавендиш предпринял целый ряд мер с целью компенсации систематических погрешностей, возникающих вследствие воздействия физических условий опыта, которые не имели непосредственного отношения к измеряемым гравитационным силам, но могли оказать на результат влияние, сравнимое или даже превышающее действие этих сил. В числе этих мер можно отметить следующие.

1. Опыт проводится в два приёма: сначала большие шары с помощью поворотного механизма фермы подводятся к малым с одной стороны (например, против часовой стрелки, как показано на рисунке), а затем — с противоположной, и измеряется двойной угол закручивания нити — от отклонения коромысла в одном направлении до противоположного. Это увеличивает непосредственно измеряемое значение угла, а главное — компенсирует влияние возможного наклонения или деформации установки и/или здания при перемещении тяжёлых шаров в ходе эксперимента, а также воздействие на результат всевозможных асимметричных факторов: технически неизбежной асимметрии самой установки, гравитационного влияния массивных объектов, находящихся поблизости (зданий, гор и т. п.), магнитного поля Земли, её вращения, положения Солнца и Луны, и др.
2. Для предотвращения влияния конвекционных потоков воздуха в помещении крутильные весы были заключены в деревянный кожух.
3. Предположив, что на закручивание нити может оказать влияние магнитное взаимодействие железных стержней фермы и свинцовых шаров, Кавендиш заменил стержни медными, получив те же результаты.

Вертикальный разрез установки (копия рисунка из отчёта Г. Кавендиша «Experiments to determine the Density of the Earth», опубликованного в Трудах Лондонского Королевского Общества за 1798 год

На рисунке Кавендиша:

ABCDDCBAEFFEA — неподвижный деревянный кожух, внутри которого подвешены крутильные весы.

m — тонкий деревянный стержень коромысла.

g — растяжка из тонкой серебряной проволоки, сообщающая жёсткость коромыслу.

X — малые шары, подвешенные к коромыслу на проволоке.

K — рукоятка механизма первоначальной установки коромысла.

RrPrR — поворотная ферма, с закреплёнными на ней большими шарами W.

MM — шкив поворотного механизма фермы.

L — осветительные приборы.

T — телескопы для наблюдения за отклонением коромысла через остеклённые отверстия в торцевых стенках кожуха, напротив концов коромысла. На нижних краях этих отверстий с внутренней стороны кожуха были установлены шкалы из слоновой кости с делениями в 1/20 дюйма (1,27 мм). На торцах коромысла были прикреплены верньеры из того же материала, с такими же делениями, подразделёнными на 5 равных отрезков. Точность измерения отклонения конца коромысла составляла, таким образом, 1/100 дюйма.

Наличие двух телескопов позволяло контролировать корректность эксперимента: если бы показания телескопов заметно отличались, это свидетельствовало бы о наличии какого-то дефекта в конструкции установки, или о каком-то неучтённом физическом факторе, существенно влияющем на результат. При перемещении больших шаров с одной стороны подвеса на другую измеряемое смещение малых шаров составляло (для жёсткости подвеса, вызывавшей крутильные колебания с периодом около 14—15 минут) в среднем около 15 делений шкалы, или примерно 2 см.

Вычисленное значение

Эксперимент показал, что значение средней плотности Земли в 5,448 раза больше плотности воды. Хотя в оригинальной работе приведено значение 5,48, позднее Ф. Бейли нашел и исправил арифметическою ошибку, допущенную Кавендишем. Найденное Кавендишем значение лишь на 1,3 % отличается от современного (5,52 г/см³). Средняя плотность планеты, полученная в эксперименте, оказалась значительно больше поверхностной (~2 г/см³), из этого следовало, что в глубинах Земли сосредоточены более плотные вещества.

Вычисленное по данным Кавендиша значение гравитационной постоянной составляет G = 6,754⋅10⁻¹¹ м³/(кг·с²). Для сравнения, современное значение (CODATA 2020) составляет G = 6,674⋅10⁻¹¹ м³/(кг·с²).

Сам Кавендиш в своём эксперименте не ставил задачу определения гравитационной постоянной, о которой в его время ещё не было выработано единого представления в научном сообществе. Гравитационная постоянная была введена, по-видимому, впервые только С. Д. Пуассоном в «Трактате по механике» (1811)^{[страница не указана 316 дней]}. Значение G было вычислено позже другими учёными из данных опыта Кавендиша. Кто впервые рассчитал численное значение G, историкам неизвестно.

Дальнейшее развитие эксперимента

Год	Экспериментаторы	Описание опыта	Плотность Земли, г/см³[уточнить]	Гравитационная постоянная, 10−11 м³/(кг·с²)	Относительная погрешность[уточнить]
1837—1847	Рейх		5,58	6,71	-
1842	Бейли	Было проведено 2000 опытов	5,66	6,62	-
1872	Корню и Байль	при помощи более совершенного прибора, составленного из алюминиевого стержня, маленьких платиновых шариков и больших стеклянных шаров, наполненных ртутью	5,53	6,77	5⋅10−3
1880	Жолли	Использовал обыкновенные рычажные весы	5,692 ± 0,068	6,58	10−2
1887	Вильзинг	Вместо горизонтального стержня, отклоняемого тяжёлыми шарами в опытах Кавендиша, он употребил вертикальный	5,58	6,71
1895	C. V. Boys		5,53	6,66 ± 0,01
1930	P. Heyl			6,670 ± 0,005
1942	P. Heyl и P. Chrzanowski			6,673 ± 0,003
1982	G. Luther и W. Towler		5,617	6,6726 ± 0,0005	10−6
1986	CODATA		5,6166	6,67259 ± 0,00085	10−6
1998	CODATA	уступает предыдущему значению в точности	5,61	6,673	10−5
2000	Университет Вашингтона в Сиэтле		5,6154	6,67390	1,4·10−5

В 2008—2010 годах были опубликованы результаты ещё 3 экспериментов. Хотя авторы каждого из них заявляют о высокой точности полученного значения, их результаты различаются на величину больше заявленных экспериментальных погрешностей.

В 2021 году эксперимент был повторен на золотых шариках диаметром 2 мм и массой всего 90 мг. Сила, действующая между ними, не превышала 10^-13 Н.

См. также

• Гравитационная постоянная

Литература

• Cavendish H. Experiments to Determine the Density of the Earth. By Henry Cavendish, Esq. F. R. S. and A. S (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. — The Royal Society, 1798. — Vol. 88. — P. 469—526. — ISSN 02610523.[1]
• Кавендиш Г. Опыты по определению плотности Земли // Классики физической науки / Голин Г. М. Филонович С. Р.. — М., 1989. — 576 с.
• Francis Baily. Experiments with the Torsion Rod for Determining the Mean Density of the Earth. — Royal Astronomical Society, 1843. — 120 с.
• John Henry Poynting. The Mean Density of the Earth: An Essay to which the Adams Prize was Adjudged in 1893 in the University of Cambridge. — C. Griffin, Limited, 1894. — 262 с.
• Boys C. V. On the Newtonian Constant of Gravitation // Philos. Trans. Roy. Soc.. — 1895.
• Paul R. Heyl. A Redetermination of the Constant of Gravitation // Bureau of Standards Journal of Research. — 1930.
• Paul R. Heyl, Peter Chrzanowski. A New Determination of the Constant of Gravitation // Journal of Research of the National Bureau of Standards. — 1942.
• Gabriel G. Luther, William R. Towler. Redetermination of the Newtonian Gravitational Constant G // Physical Review Letters. — 1982. — Т. 48, вып. 3. — С. 121–123. — doi:10.1103/PhysRevLett.48.121.
• Clive C Speake. Newton's constant and the twenty-first century laboratory // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2005. — Т. 363, вып. 1834. — С. 2265–2287. — doi:10.1098/rsta.2005.1643.
• Филонович С. Р. Физический эксперимент и его восприятие // Исследования по истории физики и механики. М., 1988. C. 5—36 (I); там же. 1989. C. 38—69 (II).
• Милюков В. К., Сагитов М. У. Гравитационная постоянная в астрономии // Знание. 1985. № 9.
• MacCormach R. John Michell and Henry Cavendish. Weighting the stars // Brit. J. Hist. Sci. 1968. Vol.4. № 14. P.126—155.