Вполне несвязное пространство

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство (наследственно несвязное, дисперсное) — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером вполне несвязного пространства является множество Кантора. Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел, является поле p-адических чисел $\mathbb {Q} _{p}$ .

Определение

Топологическое пространство X называется вполне несвязным, если связными компонентами X являются только одноточечные множества.

Примеры

Дискретное пространство
Множество рациональных чисел
Множество иррациональных чисел
Множество p-адических чисел.
- Более общо, вполне несвязными являются проконечные группы
Множество Кантора
Пространство Бэра (Теория множеств)^[англ.]
Прямая Зоргенфрея
Нульмерное хаусдорфово пространство
Нульмерное T₁-пространство
Экстремально несвязное хаусдорфово пространство
Стоуновское пространство^[англ.]
Веер Кнастера — Куратовского представляет собой пример связного пространства, которое при удалении лишь одной точки становится вполне несвязным

Свойства

Подпространства, произведения и копроизведения вполне несвязных пространств вполне несвязны.
Вполне несвязные пространства являются T₁-пространствами в случае, если точки замкнуты.
При непрерывном отображении образ вполне несвязного пространства, вообще говоря, не обязательно является вполне несвязным.
Локально компактное хаусдорфово пространство является нульмерным тогда и только тогда, когда оно вполне несвязно.
Любое вполне несвязное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств.

Конструирование несвязного пространства

Пусть $X$ — произвольное топологическое пространство. Пусть $x\sim y$ тогда и только тогда, когда $y\in \mathrm {conn} (x)$ (где $\mathrm {conn} (x)$ обозначает максимальное связное подмножество, содержащее $x$ ). Очевидно, отношение $\sim$ является отношением эквивалентности, следовательно можно построить соответствующее факторпространство $X/{\sim }.$ Топология на $X/{\sim }$ естественным образом индуцируется топлогией на $X,$ а именно, открытые подмножества $X/{\sim }$ — это в точности те множества классов эквивалентности, прообраз которых при отображении факторизации является открытым в $X.$ Приложив немного усилий, можно показать, что $X/{\sim }$ является вполне несвязным. Мы также имеем следующее универсальное свойство: если $f:X\rightarrow Y$ — непрерывное отображение во вполне несвязное пространство, то оно единственным образом представимо в виде $f={\breve {f}}\circ m,$ где отображение ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ непрерывно, а $m$ — отображение факторизации.