Поле Якоби

Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической $\gamma$ в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.

Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Пусть $\gamma _{\tau }$ есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с $\gamma _{0}=\gamma$, тогда поле

$J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}$

называется полем Якоби.

Свойства

• Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби:

  $J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,$

где $J''(t)={\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J$ есть ковариантная производная по отношению к связности Леви-Чивита, $R$ — тензор кривизны, и $T(t)=d\gamma (t)/dt$ — касательный вектор к $\gamma$.

• На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических $\gamma _{\tau }$, связанное с этим полем в соответствии с определением.

• Уравнение Якоби — линейное  обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
  • В частности,  $J$ и ${\frac {D}{dt}}J$ в какой-либо точке $\gamma$ однозначно определяют поле Якоби.
  • Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.

• Любое поле Якоби $J$ можно представить единственным образом в виде суммы $T+I$, где $T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и $I(t)$ ортогонально ${\dot {\gamma }}(t)$ при всех $t$.
  • При этом поле $I$ соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.

• Для любых двух полей Якоби $I(t)$ и $J(t)$ величина

  $\langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle$

не зависит от $t$.

Пример

На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические $\gamma _{0}$ и $\gamma _{\tau }$ с естественной параметризацией $t\in [0,\pi ]$, разделенные углом $\tau$. Геодезическое расстояние $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$ равно

$d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\operatorname {tg} ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.$

Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков:

$d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0$ для любого $\tau$.

Вместо этого мы можем рассмотреть производные по $\tau$ при $\tau =0$:

${\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.$

Мы вновь получаем пересечение геодезических при $t=\pi$. Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$; все, что нужно сделать, это решить уравнение

$y''+y=0$,

для некоторых заданных начальных условий.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.

Решение уравнения Якоби

Пусть $e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|$; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис ${\big \{}e_{i}(0){\big \}}$ в $T_{\gamma (0)}M$. Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис $\{e_{i}(t)\}$ в любой точке $\gamma$. Это даёт ортонормированный базис с $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$. Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом: $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$, откуда:

${\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),$

и уравнение Якоби можно переписать в виде системы

${\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0$

для каждого $k$. Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех $t$ и являются единственными, если заданы $y^{k}(0)$ и ${\frac {dy^{k}}{dt}}(0)$ для всех $k$.

Примеры

Рассмотрим геодезическую $\gamma (t)$ с параллельным ортонормированным репером $e_{i}(t)$, $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|$, построенным, как описано выше.

• Векторные поля вдоль $\gamma$, заданные ${\dot {\gamma }}(t)$ и $t{\dot {\gamma }}(t)$, являются полями Якоби.
• В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны)  поля Якоби это — это те поля, что линейны по $t$.
• Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны $-k^{2}$ любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\dot {\gamma }}(t)$, $t{\dot {\gamma }}(t)$ и $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$, где $i>1$.
• Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны $k^{2}$ любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\dot {\gamma }}(t)$, $t{\dot {\gamma }}(t)$, $\sin(kt)e_{i}(t)$ и $\cos(kt)e_{i}(t)$, где $i>1$.
• Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.
• Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике $TM$, индуцированной метрикой на $M$).

См. также

• Сопряжённые точки
• Теорема сравнения Рауха
• Уравнение Риккати

Литература

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.