Симметрическое пространство

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

История

Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.

Примеры

• Евклидово пространство,
• сферы,
• Различные проективные пространства с естественной метрикой.
• Пространство Лобачевского
• Компактные полупростые групп Ли с би-инвариантной римановой метрикой.
• Любая компактная поверхность рода 2 и выше (с метрикой постоянной кривизны $-1$) является локально симметрическим пространством, но не симметрическим пространством.

Определение

Пусть $M$— связное Риманово многообразие и $p$ —точка в $M$.

Отображение $s_{p}\colon M\to M$ называется геодезической симметрией с центром в точке $p$, если

$s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.$

Отображение $s_{p}\colon U\to U$, определённое на $\varepsilon$-окрестности $U$ точки $p$, называется локальной геодезической симметрией с центром в точке $p$, если

$s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)$

при $|v|<\varepsilon$.

Риманово многообразие $M$ называется  симметрическим, если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией $M$.

Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то $M$ называется локально симметрическим пространством.

Связанные определения

• Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более римановых симметрических пространств.
  • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа, если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
  • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа, если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
• Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.

Свойства

• Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.

• Любое односвязное, полное локально симметрическое пространство является симметрическим.
  • В частности, универсальное накрытие локально симметрического пространства является симметрическим.

• Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
  • В частности, любое симметрическое пространство является однородным пространством $G/K$, где $G$ — группа Ли и $K$ — её подгруппа.

• Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.

• Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
  • Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
  • Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности.

Классификация

Любое симметрическое пространство является однородным $G/K$, ниже дана классификация через $G$ и $K$, обозначения прострнаств те же, что у Картана.

Обозначение	G	K	Размерность	Ранг	Геометрическое описание
AI	$\mathrm {SU} (n)$	$\mathrm {SO} (n)$	$(n-1)(n+2)/2$	n − 1	Пространство всех вещественных структур на $\mathbb {C} ^{n}$ сохраняющих комплексный определитель
AII	$\mathrm {SU} (2n)$	$\mathrm {Sp} (n)$	$(n-1)(2n+1)$	n − 1	Пространство кватернионных структур на $\mathbb {C} ^{2n}$ с фиксированной Эрмитовой метрикой
AIII	$\mathrm {SU} (p+q)$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))$	$2pq$	min(p,q)	Грассманиан комплексных p-мерных подпрастранств в $\mathbb {C} ^{p+q}$
BDI	$\mathrm {SO} (p+q)$	$\mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)$	$pq$	min(p,q)	Грассманиан ориентированных p-мерных $\mathbb {R} ^{p+q}$
DIII	$\mathrm {SO} (2n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n-1)$	[n/2]	Пространство ортогональных комплексных структур на $\mathbb {R} ^{2n}$
CI	$\mathrm {Sp} (n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n+1)$	n	Пространство комплексных структур на $\mathbb {H} ^{n}$ сохраняющих скалярное произведение
CII	$\mathrm {Sp} (p+q)$	$\mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)$	$4pq$	min(p,q)	Грассманиан кватернионных p-мерных подпрастранств в $\mathbb {H} ^{p+q}$
EI	$E_{6}$	$\mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\}$	42	6
EII	$E_{6}$	$\mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)$	40	4	Пространство симметрических подпространств в $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ исометричных $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}$
EIII	$E_{6}$	$\mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)$	32	2	Комплексифицированная проективная плоскость Келли $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EIV	$E_{6}$	$F_{4}$	26	2	Пространство симметрических подпространств в $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изометричных $\mathbb {OP} ^{2}$
EV	$E_{7}$	$\mathrm {SU} (8)/\{\pm I\}$	70	7
EVI	$E_{7}$	$\mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)$	64	4
EVII	$E_{7}$	$E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)$	54	3	Пространство симметрических подпространств в $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изоморфных $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EVIII	$E_{8}$	$\mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\}$	128	8
EIX	$E_{8}$	$E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)$	112	4	Пространство симметрических подпространств в $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изоморфных $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
FI	$F_{4}$	$\mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)$	28	4	Пространство симметрических подпространств в $\mathbb {O} P^{2}$ изоморфных $\mathbb {H} P^{2}$
FII	$F_{4}$	$\mathrm {Spin} (9)$	16	1	плоскость Кэли $\mathbb {O} P^{2}$
G	$G_{2}$	$\mathrm {SO} (4)$	8	2	Пространство подалгебр алгебры Кэли $\mathbb {O}$ изоморфные алгебре Кватернионов $\mathbb {H}$

Вариации и обобщения

Определение через группы Ли

Более общее определение даётся на языке групп Ли. Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства $G/K$, где $G$ группа Ли и

$K=\{g\in G:\sigma (g)=g\}$

для некоторой инволюции $\sigma \colon G\to G$.

• Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция $\sigma \colon G\to G$ группы изометрий $G$ пространства определяется как

  $\sigma \colon h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}$

  • Обратное верно, если $K$ компактна.

Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств, в которых риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики. В частности

• Пространство Минковского
• пространство де Ситтера
• Пространство анти-де Ситтера

Слабо симметрические пространства

В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства. Они определяются как римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки $p$ в $M$ и касательного вектора $v$ в $p$, есть изометрия $i$, зависящая от $v$ в $p$, такая, что

• $i$ фиксирует $p$;
• $di(v)=-v$.

Если $i$ можно выбрать независимо от $v$, то пространство является симметрическим.

Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли.

Сферические пространства

Компактное однородное пространство $G/K$ называется сферическим, если любое неприводимое представление группы $G$ имеет не более одного $K-$инвариантного вектора. Симметрические пространства являются сферическими.

Эрмитовы симметрические пространствах

Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с римановой метрикой, называется Эрмитовым симметрическим пространством.

Литература

• Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. — ИЛ, 1949.
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — Мир, 1964.
• Лоос О. Симметрические пространства. — Наука, 1985.