Произведение Кронекера

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается $\otimes$. Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Определение

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

$A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.$

В развёрнутом виде

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Если A и B представляют собой линейные преобразования V₁ → W₁ и V₂ → W₂, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

Пример

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot 7&4\cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}$.

Билинейность, ассоциативность и некоммутативность

• Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и ассоциативным:

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,$

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.

• Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что

$A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.$

Если A и B квадратные матрицы, тогда A $\otimes$ B и B $\otimes$ A являются перестановочно подобными, то есть, P = Q^T.

Транспонирование

Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:

$(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T},$

$(A\otimes B)^{H}=A^{H}\otimes B^{H}.$

Смешанное произведение

• Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.$

• A $\otimes$ B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда

$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.$

Сумма и экспонента Кронекера

• Пусть A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и $E_{k}$ — единичная матрица размера k×k. Тогда можно определить сумму Кронекера $\oplus$ как

$A\oplus B=A\otimes E_{m}+E_{n}\otimes B.$

• Также справедливо

$e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.$

Спектр, след и определитель

• Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ₁, …, λ_n — собственные значения матрицы A и μ₁, …, μ_q собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A $\otimes$ B являются

$\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.$

• След и определитель произведения Кронекера равны

$\operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} (A)\,\operatorname {tr} (B),$

$\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.$

Сингулярное разложение и ранг

• Если матрица A имеет r_A ненулевых сингулярных значений:

$\sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.$

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

$\sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.$

Тогда произведение Кронекера A $\otimes$ B имеет r_Ar_B ненулевых сингулярных значений

$\sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.$

• Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,

$\operatorname {rank} (A\otimes B)=\operatorname {rank} (A)\,\operatorname {rank} (B).$

История

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.