Произведение Кронекера названо в честь [[Кронекер, Леопольд|Леопольда Кронекера]], несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли ''матрицей Зефусса''.
Произведение Кронекера названо в честь [[Кронекер, Леопольд|Леопольда Кронекера]], несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли ''матрицей Зефусса''.
== Блочные версии произведения Кронекера==
==Связанные матричные операции==
В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха ({{lang-en|Tracy–Singh product}}) и [[произведение Хатри — Рао]].
В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха ({{lang-en|Tracy–Singh product}}) и [[произведение Хатри — Рао]].
Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq
В развёрнутом виде
Если A и B представляют собой линейные преобразования V1 → W1 и V2 → W2, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.
Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
AB является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда
Сумма и экспонента Кронекера
Пусть A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и — единичная матрица размера k×k. Тогда можно определить сумму Кронекера как
Также справедливо
Спектр, след и определитель
Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицыA и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями AB являются
Тогда произведение Кронекера AB имеет rArB ненулевых сингулярных значений
Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,
История
Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.
Блочные версии произведения Кронекера
В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха (англ.Tracy–Singh product) и произведение Хатри — Рао.
Произведение Трейси-Сингха
Указанная операция перемножения блочных матриц заключается в том, что каждый блок левой матрицы умножается последовательно на блоки правой матрицы. При этом формируемая структура результирующей матрицы отличается от характерной для произведения Кронекера.
Произведение Трейси – Сингха определяется как[1][2]
Данный вариант умножения определён для матриц с одинаковой блочной структурой. Он предусматривает, что операция кронекеровского произведения выполняется поблочно, в пределах одноимённых матричных блоков по аналогии с поэлементным произведением Адамара, только при этом в качестве элементов фигурируют блоки матриц, а для умножения блоков используется кронекеровское произведение.
Примечания
↑Tracy, D. S.; Singh, R. P. (1972). "A New Matrix Product and Its Applications in Matrix Differentiation". Statistica Neerlandica. 26 (4): 143—157. doi:10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x.
↑Liu, S. (1999). "Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products". Linear Algebra and Its Applications. 289 (1—3): 267—277. doi:10.1016/S0024-3795(98)10209-4.
Литература
Хорн Р. Матричный анализ: Пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.– 655 с.