Непрерывное отображение: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
MyWikiNik (обсуждение | вклад) |
MyWikiNik (обсуждение | вклад) |
||
Строка 88: | Строка 88: | ||
* Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями. |
* Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями. |
||
* Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности. |
* Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности. |
||
*Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Пусть <math>C(X)</math>- пространство непрерывных функций на [[компактное пространство|компактном]] хаусдорфовом топологическом пространстве <math>X</math>. Пусть <math>B(X)</math> - подмножество <math>C(X)</math>, содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае <math>B(X)=C(X)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x_1,x_2 \in X</math>, существует <math> f \in B</math>, такая что <math>f(x_1)=f(x_2)</math>. |
*Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Пусть <math>C(X)</math>- пространство непрерывных функций на [[компактное пространство|компактном]] [[хаусдорфово пространство|хаусдорфовом топологическом пространстве]] <math>X</math>. Пусть <math>B(X)</math> - подмножество <math>C(X)</math>, содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае <math>B(X)=C(X)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x_1,x_2 \in X</math>, существует <math> f \in B</math>, такая что <math>f(x_1)=f(x_2)</math>. |
||
==Связанные определения== |
==Связанные определения== |
Версия от 16:14, 6 апреля 2012
Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция в математике — это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и т.п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и т.д.
В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.
Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.
Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.
Определения
Наиболее общее определение даётся в топологии. Это определение глобально, поскольку относится ко всему пространству в целом. Также рассматриваются непрерывные функции, заданные на подмножествах топологического пространства, и тогда понятие непрерывности удобнее сначала сформулировать локально в некоторой точке, а уже потом положить, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.
Общее топологическое определение
Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным в целом или просто непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:
- .
Существуют также и другие эквивалентные определения непрерывности отображения:
- прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
- образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
- замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.
Непрерывность в точке
В математическом анализе принято исходить из непрерывности в точке.
Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности образа точки найдется такая окрестность , что .
Отображение непрерывно на некотором множестве, если оно непрерывно в каждой точке этого множества. Отображение непрерывно (в целом) тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке пространства. В рамках глобального топологического определения последнее утверждение является теоремой. В математическом анализе это обычно определение.
Непрерывность и предел
Непрерывность отображения определяется также на основании общего понятия сходящейся последовательности точек топологического пространства следующим образом: отображение называется непрерывным в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность сходится к , то есть:
или
Определенная таким образом непрерывность может быть названа секвенциальной непрерывностью (не является общепринятым термином). В случае, если топология удовлетворяет первой аксиоме счётности секвенциальная непрерывность эквивалентна общему понятию непрерывности.
Непрерывность в метрических и нормированных пространствах
В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):
Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется непрерывным в точке , если для всякого существует , что для всякого , такого, что , выполняется неравенство: .
Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.
Пусть, отображение между нормированными пространствами с нормами и соответственно. Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек , таких что выполнено неравенство ,
Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.
Непрерывные функции (функционалы)
В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала (или .), где - произвольное топологическое пространство, следующее:
Фунционал , называется непрерывным в точке , если для любого найдется окрестность этой точки, такая, что выполнено условие .
Множество непрерывных на функционалов (функций) принято обозначать . Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.
Непрерывная числовая функция
Пусть, . (Вместо также допустимо использовать .)
Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек условие влечет .
Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:
Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .
Свойства непрерывных отображений
- Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество
- Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.
- Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.
- Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.
- (Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.
- Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
- Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
- Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Пусть - пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве . Пусть - подмножество , содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае тогда и только тогда, когда , существует , такая что .
Связанные определения
- Гомеоморфизм - непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
- Равномерная непрерывность
См. также
- Пространство непрерывных функций
- Линейный непрерывный оператор
- Предел функции
- Общая топология
- Топологическое пространство
- Открытое отображение
- Равномерная непрерывность
Ссылки
Математические Этюды Мультик про непрерывность
Примечания
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|