Линейное отображение: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
OZH (обсуждение | вклад) →Матрица линейного оператора: перенос материала из статьи Матрица (математика) про матрицу линейного оператора; старый текст скрыт |
|||
Строка 36: | Строка 36: | ||
==Матрица линейного оператора== |
==Матрица линейного оператора== |
||
Пусть линейный оператор <math>A</math> действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе {<math>e_n</math>} как <math>x=\sum_{k} \alpha_k e_k</math>, причем из ортнонормированности базиса следует, что <math>\alpha_k=(x,e_k)</math>. Тогда вектор <math>y=Ax</math> можно разложить в том же базисе с коэффициентами <math>\beta_k=(Ax,e_k)=\sum_{i} (Ae_i,e_k)\alpha_i=\sum_{i} a_{ij} \alpha_i</math>, где <math>a_{ij}=(Ae_i,e_k)</math>. Таким образом, в координатном представлении <math>\beta=A \alpha</math>, где <math>\alpha</math> - координатное представление вектора <math>x</math>, а <math>\beta</math>-координатное представление вектора <math>y</math>, соответственно <math>A=</math> {<math>a_{ij}</math>}-матрица оператора в данном базисе. |
<!-- Пусть линейный оператор <math>A</math> действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе {<math>e_n</math>} как <math>x=\sum_{k} \alpha_k e_k</math>, причем из ортнонормированности базиса следует, что <math>\alpha_k=(x,e_k)</math>. Тогда вектор <math>y=Ax</math> можно разложить в том же базисе с коэффициентами <math>\beta_k=(Ax,e_k)=\sum_{i} (Ae_i,e_k)\alpha_i=\sum_{i} a_{ij} \alpha_i</math>, где <math>a_{ij}=(Ae_i,e_k)</math>. Таким образом, в координатном представлении <math>\beta=A \alpha</math>, где <math>\alpha</math> - координатное представление вектора <math>x</math>, а <math>\beta</math>-координатное представление вектора <math>y</math>, соответственно <math>A=</math> {<math>a_{ij}</math>}-матрица оператора в данном базисе. |
||
Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе. |
Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе. |
||
--> |
|||
'''Матрица линейного оператора''' — матрица, выражающая [[линейный оператор]] в некотором [[базис]]е. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы. |
|||
Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на [[Вектор (математика)|вектор]] равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе. |
|||
Выберем базис <math>\mathbf{e}_k</math>. Пусть <math>\mathbf{x}</math> — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису: |
|||
: <math>\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k</math>, |
|||
где <math>x^k</math> — координаты вектора <math>\mathbf{x}</math> в выбранном базисе. |
|||
Здесь и далее предполагается [[Соглашение Эйнштейна|суммирование по немым индексам]]. |
|||
Пусть <math>\mathbf{A}</math> — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим |
|||
: <math>\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k</math>. |
|||
Вектора <math>\mathbf{Ae}_k</math> также разложим в выбранном базисе, получим |
|||
: <math>\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j</math>, |
|||
где <math>a^j_k</math> — <math>j</math>-я координата <math>k</math>-го вектора из <math>\mathbf{Ae}_k</math>. |
|||
Подставим разложение в предыдущую формулу, получим |
|||
: <math>\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j</math>. |
|||
Выражение <math>a^j_kx^k</math>, заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица <math>a^j_k</math> при умножении на столбец <math>x^k</math> даёт в результате координаты вектора <math>\mathbf{Ax}</math>, возникшего от действия оператора <math>\mathbf{A}</math> на вектор <math>\mathbf{x}</math>, что и требовалось получить. |
|||
{{Коментарий}} Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов <math>\mathbf{e}_k</math>. Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным. |
|||
== Важные частные случаи == |
== Важные частные случаи == |
Версия от 09:15, 10 декабря 2013
Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.
Формальное определение
Лине́йным отображе́нием векторного пространства над полем в векторное пространство (лине́йным опера́тором из в ) над тем же полем называется отображение
- ,
удовлетворяющее условию линейности
- ,
- .
для всех и .
Пространство линейных отображений
Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля как
множество всех линейных отображений из в превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как
Ограниченные линейные операторы. Норма оператора
Если векторные пространства и являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что . Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:
Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство - банахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.
Обратный оператор
Оператор называется обратным линейному оператору , если выполняется соотношение:
Оператор , обратный линейному оператору , также является линейным непрерывным оператором. В случае если линейный оператор действует из банахового пространства в другое банахово пространство, то по теореме Банаха обратный оператор существует.
Матрица линейного оператора
Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.
Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.
Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:
- ,
где — координаты вектора в выбранном базисе.
Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.
Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим
- .
Вектора также разложим в выбранном базисе, получим
- ,
где — -я координата -го вектора из .
Подставим разложение в предыдущую формулу, получим
- .
Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.
Шаблон:Коментарий Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.
Важные частные случаи
- Линейный функционал — линейный оператор, для которого :
- Эндоморфизм — линейный оператор, для которого :
- Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор , отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
- Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент в нулевой элемент .
- Проектор — оператор сопоставляющий каждому его проекцию на подпространство.
- Сопряжённый оператор к оператору — оператор на , заданный соотношением .
- Самосопряженный — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
- Эрмитов или симметрический — такой оператор , что для всех пар из области определения . Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.
- Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение , в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора ; оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором ; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным;
- Положительно определённый оператор. Пусть — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если .
Связанные понятия
- Образом подмножества[1] относительно линейного отображения A называется множество .
- Ядром линейного отображения называется подмножество , которое отображается в нуль:
- Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
- Образом линейного отображения называется следующее подмножество :
- Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
- Отображение прямого произведения линейных пространств и в линейное пространство называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.
- Оператор называется линейным неоднородным (или аффинным), если он имеет вид
- где — линейный оператор, а — вектор.
- Пусть . Подпространство называется инвариантным относительно линейного отображения, если [2].
- Критерий инвариантности. Пусть — подпространство,такое что разлагается в прямую сумму: . Тогда инвариантно относительно линейного отображения тогда и только тогда, когда , где - проектор на подпространство .
- Фактор-операторы[3]. Пусть — линейный оператор и пусть — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем фактор-пространство по подпространству . Тогда фактор-оператором называется оператор действующий на по правилу: , где — класс из фактор-пространства, содержащий .
Примеры
Примеры линейных однородных операторов:
- оператор дифференцирования: ;
- оператор интегрирования: ;
- оператор умножения на определённую функцию ;
- оператор интегрирования с заданным «весом»
- оператор взятия значения функции в конкретной точке : [4];
- оператор умножения вектора на матрицу: ;
- оператор поворота вектора.
Примеры линейных неоднородных операторов:
- Любое аффинное преобразование;
- ;
- ;
- ;
где , , — вполне определённые функции, а — преобразуемая оператором функция.
Примечания
См. также
- Линейный непрерывный оператор
- Вполне непрерывный оператор
- Интегральный оператор Фредгольма
- Сопряжённый оператор
- Спектр оператора
- Оператор (математика)
- Выпуклый функционал
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |