Дружественные числа: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Atylotus (обсуждение | вклад) отклонены последние 3 изменения (93.80.132.148) |
IvanP (обсуждение | вклад) м многоточие |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Дру́жественные чи́сла''' — два различных [[натуральное число|натуральных числа]], для которых сумма всех [[собственный делитель|собственных делителей]] первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел <math>M, N</math> называют дружественной, если: |
'''Дру́жественные чи́сла''' — два различных [[натуральное число|натуральных числа]], для которых сумма всех [[собственный делитель|собственных делителей]] первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел <math>M, N</math> называют дружественной, если: |
||
: <math>m_1 + m_2 + |
: <math>m_1 + m_2 + \ldots + m_k = N,</math> |
||
: <math>n_1 + n_2 + |
: <math>n_1 + n_2 + \ldots + n_l = M,</math> |
||
где <math>m_1, m_2, ... m_k</math> — делители числа <math>M</math>, <math>n_1, n_2, ... n_l</math> — делители числа <math>N</math>. |
где <math>m_1, m_2, ... m_k</math> — делители числа <math>M</math>, <math>n_1, n_2, ... n_l</math> — делители числа <math>N</math>. |
Версия от 18:59, 10 апреля 2019
Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел называют дружественной, если:
где — делители числа , — делители числа .
Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.
История
Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.
- Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284.
- Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.
Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел:
- 17 296 и 18 416.
- 9 363 584 и 9 437 056.
В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары; например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил, её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.
Примеры
Ниже приведены все пары дружественных чисел вплоть до 1 043 096
- 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
- 1184 и 1210 (Паганини, 1866)
- 2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
- 5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
- 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
- 10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747)
- 12 285 и 14 595 (Браун, 1939)
- 17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
- 63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747)
- 66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750)
- 67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747)
- 69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747)
- 79 750 и 88 730 (Рольф (Rolf), 1964)
- 100 485 и 124 155
- 122 265 и 139 815
- 122 368 и 123 152
- 141 664 и 153 176
- 142 310 и 168 730
- 171 856 и 176 336
- 176 272 и 180 848
- 185 368 и 203 432
- 196 724 и 202 444
- 280 540 и 365 084
- 308 620 и 389 924
- 319 550 и 430 402
- 356 408 и 399 592
- 437 456 и 455 344
- 469 028 и 486 178
- 503 056 и 514 736
- 522 405 и 525 915
- 600 392 и 669 688
- 609 928 и 686 072
- 624 184 и 691 256
- 635 624 и 712 216
- 643 336 и 652 664
- 667 964 и 783 556
- 726 104 и 796 696
- 802 725 и 863 835
- 879 712 и 901 424
- 898 216 и 980 984
- 998 104 и 1 043 096
- и т. д.
Пары дружественных чисел образуют последовательность[1]:
- 220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, …
Способы построения
Формула Сабита ибн Курра
Если для натурального числа все три числа:
- ,
- ,
- ,
являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел.
Эта формула даёт пары (220, 284), (17 296, 18 416) и (9 363 584, 9 437 056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для не существует. Кроме того, многие пары дружественных чисел, например, (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.
Метод Вальтера Боро
Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и — дружественные.
Открытые проблемы
Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На апрель 2016 года известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел[2]. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.
Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.
Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 1067.
Интересные факты
Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866 г. итальянский школьник — Никколо Паганини — полный тёзка великого скрипача. Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.
См. также
Примечания
- ↑ Последовательность A063990 в OEIS: дружественные числа = Amicable numbers
- ↑ Sergei Chernykh Amicable Pairs list
Ссылки
- M. García, J. M. Pedersen, H. J. J. te Riele (2003). "Amicable pairs, a survey" (PDF). Report MAS-R0307. Архивировано (PDF) 29 ноября 2006. Дата обращения: 17 декабря 2006.
{{cite journal}}
: Неизвестный параметр|deadlink=
игнорируется (|url-status=
предлагается) (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка) - Weisstein, Eric W. Amicable Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Euler's Rule (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.