Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Абеля, иногда назваемая теоремой Абеля — Руффини, утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени неразрешимо в радикалах[1].

Подробности

[править | править код]

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -й степени при не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение имеет корень .

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.

Явные формулы для степеней меньше пятой

[править | править код]

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой)[4].

Руффини, Паоло, Teoria generale delle equazioni, 1799

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.

Их доказательства основывались на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, которая позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.

Разрешимые типы уравнений

[править | править код]

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Алексеев, В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — М.: МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3.
  • Табачников, С. Л., Фукс, Д. Б. Математический дивертисмент. Лекция 5. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — ISBN 978-5-94057-731-7.
  • Bosch, S.. Algebra (нем.). — 6. Auflage. — Springer, 2006. — ISBN 3-540-29880-0.
  • Dehn, E.. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois (англ.). — New York: Columbia University Press, 1930.
  • Fraleigh, J. B.. A First Course in Abstract Algebra (англ.). — Seventh Edition. — Pearson Education Limited, 2014. — ISBN 1-292-02496-8.
  • Stewart, I. Galois Theory (англ.). — Second edition. — Chapman & Hall, 1989. — ISBN 978-94-010-6864-2.