Алгебра (теория множеств)

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Определение

Семейство $\mathfrak{A} \subset 2^{X}$ подмножеств множества $X$ называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. $\mathfrak{A}$ содержит пустое множество $\varnothing$.
2. Если $A\in \mathfrak{A}$, то и его дополнение $X\setminus A\in\mathfrak{A}.$
3. Объединение двух множеств $A,B\in \mathfrak{A}$ также принадлежит $\mathfrak{A}.$

Замечания

• В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
• Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
• Если исходное множество $X$ является пространством элементарных событий, то алгебра $\mathfrak{A}$ называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий $~\Omega$, элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

• алгебра конечных подмножеств $~\Omega$;
• сигма-алгебра счётных подмножеств $~\Omega$;
• алгебра подмножеств ${\mathbb{R}}^n$, образованная конечными объединениями интервалов;
• сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства $~\Omega$, то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества $~\Omega$;
• алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности $\mathbf{P}$. Если $\mathbf{P} (x)=0$, то событие $x \subseteq \Omega$ называется невозможным событием; если $\mathbf{P}(x)=1$, то событие $x \subseteq \Omega$ называется достоверным событием;

Событие $A + B$ или $A \cup B$ , заключается в том, что из двух событий $A$ и $B$ происходит по крайней мере одно, называется суммой событий $A$ и $B$.

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также

• Сигма-алгебра
• Кольцо
• Полукольцо
• Аксиоматика Колмогорова
• Элементарное событие
• Событие (теория вероятностей)
• Вероятностное пространство

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.