Расширенная числовая прямая

Эта статья о числовой прямой, расширенной двумя знаковыми бесконечностями; о числовой прямой, расширенной одной беззнаковой бесконечностью, см. Проективно расширенная числовая прямая.

Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел $\mathbb {R}$, дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: $+\infty$ (положительная бесконечность) и $-\infty$ (отрицательная бесконечность), то есть ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ;-\infty \}=[-\infty ;+\infty ]$. Следует понимать, что $-\infty ,+\infty$ не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы $-\infty$ и $+\infty$ считаются неравными друг другу.

При этом для любого вещественного числа $x\in \mathbb {R}$ по определению полагают выполненными неравенства $-\infty <x<+\infty$. В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.

Знак плюс для элемента $+\infty$ часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как $\pm \infty$.

Порядок

Множество вещественных чисел $\mathbb {R}$ линейно упорядоченно по отношению $\leqslant$. Однако в $\mathbb {R}$ нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы ${\overline {\mathbb {R} }}$ как раз состоит в добавлении максимального ($+\infty$) и минимального ($-\infty$) элементов.

Благодаря этому в системе ${\overline {\mathbb {R} }}$ всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и $+\infty$, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов $+\infty$ и $-\infty$.

В расширенной числовой прямой существует 3 вида промежутков: интервал, полуинтервал и отрезок.

$(\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \}$ — интервал

$(\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x\leq \beta \}$, $[\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x<\beta \}$ — полуинтервал

$[\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x\leq \beta \}$ — отрезок

Так как бесконечности здесь такие же равноправные элементы как и числа, конечные и бесконечные промежутки не различаются как отдельные виды промежутков.

Топология

Отношение порядка $<$ порождает топологию $\tau$ на ${\overline {\mathbb {R} }}$. В топологии $\tau$ открытыми промежутками являются промежутки вида:

$(\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \}$

$(\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \}$

$[-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \}$

$[-\infty ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\}$

где $\alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} }}$. Открытые множества же задаются как всевозможные объединения открытых промежутков.

Окрестности

Окрестностью $U(a)$ точки $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии $\tau$, всякая окрестность точки $a$ включает один из открытых промежутков, содержащий $a$.

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие $\varepsilon$-окрестности $U_{\varepsilon }(a)$ точки расширенной числовой прямой ($\varepsilon >0$).

В случае $a\in \mathbb {R}$, то есть когда $a$ является числом, $\varepsilon$-окрестностью $a$ называется множество:

$U_{\varepsilon }(a){\overset {\mathrm {def} }{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$

Если же $a=+\infty$, то:

$U_{\varepsilon }(+\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }},+\infty \right],$

а если $a=-\infty$, то:

$U_{\varepsilon }(-\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right).$

Понятие $\varepsilon$-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда $a$ является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа $\varepsilon$ соответствующие окрестности уменьшаются: $0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{\varepsilon _{1}}(a)\subset U_{\varepsilon _{2}}(a)$.

Проколотые окрестности и $\varepsilon$-окрестности определяются соответственно как окрестность и $\varepsilon$-окрестность, из которых удалили саму точку.

Пределы

Во многих курсах матанализа часто пределы при стремления к плюс или минус бесконечности определяются отдельно. Также часто отдельно определяются равенства пределов плюс и минус бесконечности. В ${\overline {\mathbb {R} }}$ все эти ситуации укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть $f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}$, где $X\subset {\overline {\mathbb {R} }}$. В частности, $f$ может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть $x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}$. Тогда:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;(x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }(a))$

При этом стремление к бесконечности с обеих сторон и равенство предела беззнаковой бесконечности этим определением не охватываются. Эти случа тоже могут быть охвачены общетопологическим определением предела, но уже в другой структуре, а именно в проективно расширенной числовой прямой.

Несмотря на то, что аффинно и проективно расширенные числовые прямые разные структуры, пределы в них связаны между собой. Если предел в ${\overline {\mathbb {R} }}$ равен одной из бесконечностей, то в ${\widehat {\mathbb {R} }}$ он также равен бесконечности. Наоборот это не работает: если предел в ${\widehat {\mathbb {R} }}$ равен бесконечности, это ещё не значит, что в ${\overline {\mathbb {R} }}$ он будет равен одной из бесконечностей. Пример этому всё тот же $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$ в ${\widehat {\mathbb {R} }}$ равен бесконечности, а в ${\overline {\mathbb {R} }}$ он не существует. Однако, связь между двумя структурами всё же можно сформулировать в виде утверждения в обе стороны: предел в ${\widehat {\mathbb {R} }}$ равен бесконечности равен бесконечности тогда и только тогда, когда в ${\overline {\mathbb {R} }}$ он либо равен одной из бесконечностей, либо не существует, но при этом множество его частичных пределов состоит только из бесконечностей.

Компактность

${\overline {\mathbb {R} }}$ — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел $\mathbb {R}$ является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел ${\overline {\mathbb {R} }}$ может рассматриваться как двухточечная компактификация $\mathbb {R}$. При этом ${\overline {\mathbb {R} }}$ оказывается гомеоформным отрезку $[0,1]$. Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм $f\colon [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} }}$ задаётся формулой:

$f(x)={\begin{cases}-\infty &x=0\\\operatorname {tg} \left(\pi x-{\dfrac {\pi }{2}}\right)&0<x<1\\+\infty &x=1\end{cases}}$

В ${\overline {\mathbb {R} }}$ теорема Больцано — Вейерштрасса выполняется для любой последовательности, а не только для ограниченной. Это значит, что у любой последовательности в ${\overline {\mathbb {R} }}$ существует сходящаяся в ${\overline {\mathbb {R} }}$ подпоследовательность. Таким образом, ${\overline {\mathbb {R} }}$ секвенциально компактно.

Операции

Для вещественных чисел и элементов $\pm \infty$ определены следующие действия:

${\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \pm \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&>0\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&<0\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&>0\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&<0\\a^{+\infty }&=+\infty ,&a&>1\\a^{-\infty }&=+\infty ,&0&<a<1\\a^{-\infty }&=0,&a&>1\\a^{+\infty }&=0,&0&\leq a<1\\(+\infty )^{a}&=+\infty ,&a&>0\\(+\infty )^{a}&=0,&a&<0\\\operatorname {ln} {+\infty }&=+\infty \end{aligned}}$

Значение выражений $(+\infty )-(+\infty ),0\times (\pm \infty ),{\frac {0}{0}}$, $1^{\pm \infty }$, $(\pm \infty )^{0}$, $0^{0}$ не определены.

Вопреки распространённому мнению, значение выражения ${\frac {a}{0}}$, где $a\neq 0$, тоже не определено. Доопределение этого выражение одной из бесконечностей нарушит непрерывность операции деления. Это можно проиллюстрировать на примере функции ${\frac {1}{x}}$. Её предел в нуле слева равен $-\infty$, а справа $+\infty$, что означает, что двустороннего предела в этой точке нет. Из-за этого как бы мы не доопределили функцию в нуле, она останется разрывной.

Часто встречающаяся запись ${\frac {a}{0}}=\infty$ или ${\frac {a}{0}}=\pm \infty$ относится к принципиально другой структуре — проективно расширенной числовой прямой, в которой бесконечность представляет собой совершенно другой объект.

Алгебраические свойства

Следующие равенства означают: обе части либо обе равны, либо обе не имеют смысла

• $a+b=b+a$
• $(a+b)+c=a+(b+c)$
• $a\cdot b=b\cdot a$
• $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Следующие равенства верны, если их правая часть определена.

• $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Следующие свойства верны, если обе части правого неравенства имеют смысл

• если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c;$
• если $a\leq b,~c>0$, то $a\cdot c\leq b\cdot c.$

См. также

Проективно расширенная числовая прямая

Литература

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
• Cantrell D. W. Affinely Extended Real Numbers (англ.). Wolfram Math World. Weisstein E. W.. Дата обращения: 9 января 2022.
• Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.