Свободная абелева группа

В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

Как и векторные пространства, свободные абелевы группы классифицируются мощностью базиса; эта мощность не зависит от выбора базиса и называется рангом группы.

Пример и контрпример

• Группа $G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$, прямая сумма двух копий бесконечной циклической группы $\mathbb {Z} ^{2}$ — свободная абелева группа ранга 2, так как имеет базис $B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace$, где $e_{1}=(1,0)$ и $e_{2}=(0,1)$. Произвольный элемент $(n,m)$ группы $G$ единственным образом представляется в виде их линейной комбинации: $(n,m)=ne_{1}+me_{2}$. Более общо, свободной абелевой группой является любая решётка в $\mathbb {R} ^{n}.$
• Никакая конечная абелева группа, кроме тривиальной, не является свободной (так как свободная абелева группа не имеет кручения).

Формальные суммы

Для любого множества $B$ можно определить группу $\mathbb {Z} ^{(B)},$ элементы которой — функции из $B$ во множество целых чисел $\mathbb {Z} ,$ а скобки обозначают тот факт, что все функции принимают ненулевые значения не более чем на конечном множестве. Сложение функций определяется поточечно: $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ относительно этого сложения $\mathbb {Z} ^{(B)}$ образует свободную абелеву группу, базис которой находится во взаимно-однозначном соответствии со множеством $B.$ Действительно, любому элементу $x$ множества $B$ можно сопоставить функцию $e_{x},$ такую что $e_{x}(x)=1,$ и $e_{x}(y)=0$ для всех элементов $y$ из множества $B,$ таких, что $y\neq x.$ Любая функция $f$ из $\mathbb {Z} ^{(B)}$ представима единственным образом в виде конечной линейной комбинации базисных функций:

$f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}$

Группа $\mathbb {Z} ^{(B)}$ с базисом $\{e_{x}\}_{x\in B}$ единственна с точностью до изоморфизма; её элементы называются формальными суммами элементов $B.$

Свойства

Универсальное свойство

Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция $b$ из множества B в абелеву группу F является вложением базиса в эту группу, если для любой функции $g$ из B в произвольную абелеву группу A существует единственный гомоморфизм групп $G:F\to A,$ такой что $g=G\circ b.$ Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом B эквивалентны.

Подгруппы

Теорема: Пусть $F$ — свободная абелева группа и пусть $G\subset F$ — её подгруппа. Тогда $G$ также является свободной абелевой группой.

Для доказательства этой теоремы необходима аксиома выбора. В книге Сержа Ленга «Алгебра» приводится доказательство, использующее лемму Цорна, тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский утверждали, что использование принципа вполне упорядочивания вместо леммы Цорна даёт более интуитивно понятное доказательство.

В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат:

Теорема: Пусть $G$ — подгруппа конечнопорождённой свободной группы $F$. Тогда $G$ свободна, существует базис $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ группы $F$ и натуральные числа $d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}$ (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что $(d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})$ образуют базис $G.$ Более того, последовательность $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}$ зависит только от $F$ и $G$, но не от выбора базиса.

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы x и ненулевого числа n, таких что nx = 0. Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения.

Группа рациональных чисел $\mathbb {Q}$ — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу.

Прямые суммы и произведения

Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий $\mathbb {Z}$ (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых.

Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },$ прямое произведение счётного числа копий $\mathbb {Z} ,$ не является свободной абелевой. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой.