Решётка (теория групп)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории групп, решётка — дискретная подгруппа в группе Ли, факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле меры Хаара. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.

Решётки в евклидовом пространстве[править | править исходный текст]

В случае \R^n, решётки — в точности дискретные абелевы подгруппы максимального вектора, то есть подгруппы, имеющие вид


\Gamma=\Z v_1+\dots+ \Z v_n,

где вектора v_1,\dots,v_n\in R^n линейно независимы

Связанные понятия[править | править исходный текст]

Решётка \Gamma\subset \R^n называется:

  • Целой, если скалярное произведение между любыми двумя её векторами целое:

\forall u,v\in\Gamma \quad \langle u,v\rangle \in\Z.
  • Чётной, если норма[1] любого её вектора чётная:

\forall v\in\Gamma \quad \langle v,v\rangle \in\Z.
  • Унимодулярной, если фактор по ней имеет объём 1, или, что то же самое, если объём 1 имеет её фундаментальный параллелепипед.

Двойственной решёткой к решётке \Gamma называется решётка \Gamma^{\perp}, определённая как


\Gamma^{\perp}= \{u \mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in\Z \}.

Решётка называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной к себе.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если решётка \Gamma целая, то \Gamma\subset \Gamma^{\perp}.
  • Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
  • Целая унимодулярная решётка автоматически самодвойственна.
  • Чётные самодвойственные решётки существуют только в пространствах размерностей, кратных восьми.


Решётки в SL(2,R)[править | править исходный текст]

В случае группы Ли SL(2,\R), решётка уже не обязательно кокомпактна: так, для подгруппы SL(2,\Z)\subset SL(2,\R) объём фактора по ней конечен, однако SL(2,\Z) не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).



Литература[править | править исходный текст]

  1. В теории решёток в евклидовом пространстве, принято называть нормой не длину вектора, а её квадрат.
  • Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.