Решётка (теория групп)

В теории групп, решётка — дискретная подгруппа в группе Ли, факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле меры Хаара. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.

Решётки в евклидовом пространстве

В случае $\R^n$, решётки — в точности дискретные абелевы подгруппы максимального вектора, то есть подгруппы, имеющие вид

$\Gamma=\Z v_1+\dots+ \Z v_n,$

где вектора $v_1,\dots,v_n\in R^n$ линейно независимы

Связанные понятия

Решётка $\Gamma\subset \R^n$ называется:

• Целой, если скалярное произведение между любыми двумя её векторами целое:

$\forall u,v\in\Gamma \quad \langle u,v\rangle \in\Z.$

• Чётной, если норма любого её вектора чётная:

$\forall v\in\Gamma \quad \langle v,v\rangle \in\Z.$

• Унимодулярной, если фактор по ней имеет объём 1, или, что то же самое, если объём 1 имеет её фундаментальный параллелепипед.

Двойственной решёткой к решётке $\Gamma$ называется решётка $\Gamma^{\perp}$, определённая как

$\Gamma^{\perp}= \{u \mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in\Z \}.$

Решётка называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной к себе.

Свойства

• Если решётка $\Gamma$ целая, то $\Gamma\subset \Gamma^{\perp}$.
• Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
• Целая унимодулярная решётка автоматически самодвойственна.
• Чётные самодвойственные решётки существуют только в пространствах размерностей, кратных восьми.

Решётки в SL(2,R)

В случае группы Ли $SL(2,\R)$, решётка уже не обязательно кокомпактна: так, для подгруппы $SL(2,\Z)\subset SL(2,\R)$ объём фактора по ней конечен, однако $SL(2,\Z)$ не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).

Литература

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.