Плоский модуль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.

Векторные пространства, свободные и, более общо, проективные модули являются плоскими. Для конечнопорождённых модулей над нётеровыми кольцами плоские модули — то же самое, что проективные модули. Для конечнопорождённых модулей над локальными кольцами все плоские модули свободны.[1]

Понятие плоского модуля было введено Серром в 1955 году.

Определение[править | править вики-текст]

Можно дать несколько эквивалентных определений плоского модуля.

  • (Левый) R-модуль M называется плоским тогда и только тогда, когда функтор N \mapsto M \otimes_R N является точным.
  • Поскольку функтор тензорного произведения всегда точен справа, предыдущее требование можно ослабить. А именно, R-модуль M является плоским, если для любого инъективного гомоморфизма R-модулей \phi : K \to L индуцированное отображение F_M(\phi) : M \otimes_R K \to M \otimes_R L также инъективно.
  • Модуль M является плоским, если каждого конечнопорождённого идеала в кольце R (с естественным вложением I \hookrightarrow R) индуцированное отображение I \otimes_R M \to R \otimes_R M \cong M инъективно.

Свойства плоских модулей над коммутативным кольцом[править | править вики-текст]

Для любой мультипликативной системы S кольца R кольцо частных S−1R является плоским R-модулем.

Конечнопорождённый модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является локально свободным. Локально свободный модуль над кольцом R — это такой модуль M, что его локализация по любому простому идеалу M_{\mathfrak p} является свободным модулем над кольцом частных R_{\mathfrak p}.

Если кольцо S является R-алгеброй, то есть существует гомоморфизм f:R\to S, имеет смысл спросить, является ли эта алгебра плоским R-модулем. Оказывается, что S является строго плоским модулем тогда и только тогда, когда каждый простой идеал кольца R является прообразом под действием f некоторого простого идеала из S, то есть когда отображение f^* \colon \mathrm{Spec}(S) \to \mathrm{Spec}(R) сюръективно (см. статью Спектр кольца).

Плоские модули можно указать на следующей цепочке включений:

Модули без крученияплоские модулипроективные модулисвободные модули.

Для некоторых классов колец верны и обратные включения: например, каждый модуль без кручения над дедекиндовым кольцом является плоским, плоский модуль над артиновым кольцом является проективным и проективный модуль над областью главных идеалов (или над локальным кольцом) является свободным.

Категорные копределы[править | править вики-текст]

Прямые суммы и прямые пределы плоских модулей являются плоскими. Это следует из того факта, что тензорное произведение коммутирует с прямыми суммами и прямыми пределами (более того, оно коммутирует со всеми копределами). Подмодули и фактормодули плоского модуля не обязательно являются плоскими (например, плоским не является модуль Z/2Z). Однако если подмодуль плоского модуля является в нём прямым слагаемым, то фактор по нему является плоским.

Модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечнопорождённых свободных модулей.[2] Из этого следует, в частности, что каждый конечно представленный плоский модуль является проективным.

Гомологическая алгебра[править | править вики-текст]

Свойство «плоскости» модуля можно выразить при помощи функтора Tor, левого производного функтора для тензорного произведения. Левый R-модуль M является плоским тогда и только тогда, когда TornR(-, M) = 0 для всех n \ge 1 (то есть когда TornR(X, M) = 0 для всех n \ge 1 и всех правых R-модулей X), определение плоского правого модуля аналогично. Используя этот факт, можно доказать несколько свойств короткой точной последовательности модулей:

Short exact sequence ABC.png
  • Если A и C плоские, то и B плоский.
  • Если B и C плоские, то и A плоский.

Если A и B плоские, C в общем случае не является плоским. Однако

  • Если A — прямое слагаемое модуля B и B плоский, то A и C плоские.

Плоские резольвенты[править | править вики-текст]

Плоская резольвента модуля M — это резольвента вида

… → F2F1F0M → 0

где все Fi плоские. Плоские резольвенты используются при вычислении функтора Tor.

Длина плоской резольвенты — это наименьший индекс n, такой что Fn не равен нулю Fi=0 для всех i, большах n. Если модуль M допускает конечную плоскую резольвенту, её длина называется плоской размерностью модуля.[3], в противном случае говорят, что плоская размерность бесконечна. Например, если модуль M имеет плоскую размерность 0, то из точности последовательности 0 → F0M → 0 следует, что M изоморфен F0, то есть является плоским.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Matsumura 1970, Proposition 3.G
  2. Lazard, D. (1969), "«Autour de la platitude»", Bulletin de la Société Mathématique de France Т. 97: 81–128, <http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0> 
  3. Lam, 1999, p. 183

Литература[править | править вики-текст]