Группа вращений

Группа вращения (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве $\R^3$ . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц $3\times 3$ с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — $\mathrm{SO}(3)$ ).

Иногда группами вращений называют все специальные ортогональные группы $\mathrm{SO}(n)$ (в обобщении до пространств $\R^n$ ).

[править] Свойства

Группа вращений некоммутативна.
Группа вращений является группой Ли.
Группа $\mathrm{SO}(3)$ диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера, любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором $v$ ), проходящей через центр координат, и углом $\varphi \in [-\pi,\pi]$ . Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор $\varphi v$ и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса $\pi$ . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам $\pi$ и $-\pi$ соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
Универсальная накрывающая группы $\mathrm{SO}(3)$ является специальной унитарной группой $\mathrm{SU}(2)$ , или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.