Специальная унитарная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1 и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером n\times n обозначается \mathrm{SU}(n).

Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы \mathrm U (n), состоящей из всех унитарных матриц n \times n.

Генераторы[править | править вики-текст]

\mathrm{SU}(2)[править | править вики-текст]

Для группы \mathrm{SU}(2) генераторы известны как матрицы Паули:

00 \sigma_1 = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix} \sigma_2 = 
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix} \sigma_3 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}

\mathrm{SU}(3)[править | править вики-текст]

Аналогом матриц Паули для \mathrm{SU}(3) служат матрицы Гелл-Манна:

00 \lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
00 \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
00 \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Генераторы для \mathrm{SU}(3) определяются как T с использованием соотношения:

T_a = \frac{\lambda_a}{2}.

Они подчиняются следующим соотношениям:

  • \left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c}, где f — структурная константа, значения которой равны:
f^{123} = 1,
f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2},
f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,;
  • \operatorname{tr}(T_a) = 0.

\mathrm{SU}(4)[править | править вики-текст]

Эрмитовы матрицы генераторы для \mathrm{SU}(4) аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Мана имеют вид:

00 \lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
00 \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\ i & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
00 \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0\end{pmatrix} \lambda_9 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
00 \lambda_{10} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix}
00 \lambda_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \lambda_{14} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_{15} =  \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}

Эти матрицы ортогональны, а также удоволетворяют выражению для следа:

 Tr{(\lambda_k^2)} = 2; k=1..15

и тождеству Якоби:

 [[\lambda_l, \lambda_k], \lambda_j ]+[[\lambda_k,\lambda_j],\lambda_l]+[[\lambda_j,\lambda_l],\lambda_k]=0; j<k<l; j,k,l=1..15

При этом коммутатор вычисляется как:

[\lambda_j,\lambda_k] = 2i\sum_m f_{jkl}\lambda_l

Таблица структурных констант  f_{jkl}

 f_{1,2,3} = 1
 f_{1,4,7} = f_{2,4,6} = f_{2,5,7} = f_{3,4,5} = f_{1,9,12} = f_{2,9,11} = f_{2,10,12} = f_{3,9,10} = f_{4,9,14} = f_{5,10,14} = f_{6,11,14} =f_{7,11,13} = f_{7,12,14} = \frac 1 2
 f_{1,5,6} = f_{3,6,7} = f_{1,10,11} = f_{3,11,12} = f_{4,10,13} = f_{6,12,13} = -\frac 1 2
 f_{4,5,8} = f_{6,7,8} = \frac {\sqrt{3}} 2
 f_{8,9,10} = f_{8,11,12} = f_{9,10,15} = f_{11,12,15} = f_{13,14,15} = \frac 1 2{\sqrt{3}}
 f_{8,13,14}= \frac {-1} 2{\sqrt{3}}

Литература[править | править вики-текст]

  • Halzen, Francis; Martin, Alan Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. — John Wiley & Sons, 1984. — ISBN 0-471-88741-2

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]