Квантовый размерный эффект

Ква́нтовый разме́рный эффе́кт (квантово-размерный эффект, КРЭ) — размерный эффект, изменение термодинамических и кинетических свойств кристалла, когда хотя бы один из его геометрических размеров становится соизмеримым с длиной волны де Бройля электронов. Этот эффект связан с квантованием энергии носителей заряда, движение которых ограничено в одном, двух или трёх направлениях.

При ограничении бесконечного кристалла потенциальными барьерами или при создании границ возникают дискретные уровни квантования. Дискретный спектр возникает в любом ограниченном потенциальными стенками объёме, но практически наблюдается только при достаточно малом размере тела, поскольку эффекты декогеренции приводят к уширению энергетических уровней и, поэтому энергетический спектр воспринимается как непрерывный. Наблюдение квантового размерного эффекта возможно только, если хотя бы один из размеров кристалла достаточно мал.

История открытия

Физическая основа существования квантового размерного эффекта — квантование энергии ограниченного движения частицы в потенциальной яме. Простейшей, точно решаемой моделью, является модель прямоугольной потенциальной ямы с бесконечными стенками. Дискретные уровни энергии частицы

$E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}$

находятся из решения уравнения Шрёдингера и зависят от ширины ямы L (m — масса частицы, n=1,2,3…). Движение электронов проводимости в кристалле ограничено поверхностью образца которая, в силу большой величины работы выхода, может быть аппроксимирована потенциальной ямой с бесконечными стенками. В теоретических работах И. М. Лифшиц и А. М. Косевич впервые заметили, что изменение геометрических размеров проводника приводит к изменению числа заполненных дискретных уровней ниже энергии Ферми $\varepsilon _{F}$, что должно проявиться в осциллирующей зависимости термодинамических величин и кинетических коэффициентов от размеров образца или $\varepsilon _{F}$(химического потенциала). Условиями наблюдения КРЭ являются низкие температуры эксперимента (чтобы избежать температурного уширения квантовых уровней), чистые образцы с малым рассеянием на дефектах и соизмеримость размеров кристалла с дебройлевской длиной волны носителей заряда $\lambda _{D}$. В типичном металле $\lambda _{D}$ порядка межатомного расстояния (≤10Å) и при макроскопических размерах кристалла электронные состояния сливаются в непрерывный спектр. Поэтому впервые КРЭ был наблюден (В. Н. Луцкий, В. Б. Сандомирский, Ю. Ф. Огрин) в полупроводниках и полуметалле висмуте, в которых $\lambda _{D}$~100Å. Теоретическое предсказание и экспериментальное наблюдение КРЭ были внесены в Государственный реестр открытий СССР. Впоследствии КРЭ был наблюден в металлических пленках, и были обнаружены квантово-размерные осцилляции критической температуры сверхпроводимости пленок олова.

В тонких плёнках

Квантовый размерный эффект в тонких плёнках обусловлен тем, что поперечное движение электронов квантовано: проекция квазиимпульса на направление малого размера L (по оси z) может принимать лишь дискретный набор значений: $|p_{z}|=(\pi h/L)n$, $n=1,2,3...$. Это соотношение справедливо для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии в прямоугольной яме с бесконечно высокими потенциальными стенками, но оно достаточно для понимания физической природы эффекта. Размерное квантование квазиимпульса приводит к преобразованию спектра и возникновению «двумерных» подзон: энергия электронов определяется непрерывными компонентами квазиимпульса, параллельными поверхности плёнки, и квантовым числом $n$. Квазидискретный характер спектра приводит к скачкам (ступенькам для двумерного электронного газа) в плотности состояний при значениях энергии, отвечающих минимальным энергиям в подзонах $E_{n}$. С другой стороны, при увеличении толщины плёнки при некоторых значениях $L_{n}$ меняется число подзон в пределах фермиевской энергии $\varepsilon _{F}$. Появление новых подзон происходит в окрестности точек пересечения экстремальной хорды $\Delta P_{z}^{extr}$(Рис.$a$) с поверхностью Ферми. Вследствие этого термодинамические и кинетические характеристики осциллируют с периодом $\Delta L=2\pi \hbar /\Delta P_{z}^{extr}$. В случае, когда $E_{1}<\varepsilon _{F}<E_{2}$, заполнена лишь одна зона размерного квантования, и электронный газ становится (квази) двумерным. Полупроводниковые гетероструктуры с двумерным электронным газом широко используются в физических исследованиях и современной наноэлектронике.

Квазиклассическая теория. Общий случай

Рис. Изменение импульса электрона ΔP_z на изоэнергетической поверхности при столкновении с границами (a). Периодическая траектория электрона в тонкой пластине (b).

Рассмотрим металлическую пластину толщиной $L$. При зеркальном отражении от границ электрона со сложным законом дисперсии $\varepsilon =\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$, сохраняется энергия $\varepsilon$ и ${{\mathbf {p} }_{\bot }}$ — проекция импульса на поверхность металла. Проекция импульса $p_{z}$ вдоль нормали к поверхности (ось $z$) до ($p_{z}^{(1)}$) и после ($p_{z}^{(2)}$) соударения удовлетворяют соотношению

$\varepsilon \left({{\mathbf {p} }_{\bot }},p_{z}^{\left(1,2\right)}\right)=\varepsilon \,.\quad \quad (1)$

Решениям уравнения (1) $p_{z}^{(1,2)}\left(\varepsilon ,{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)$ соответствуют противоположные знаки скорости электрона $v_{z}^{(1,2)}$. Уравнение (1) может иметь больше двух корней. В этом случае корни должны быть разделены на пары таким образом, чтобы при переходе от $p_{z}^{(1)}$ к $p_{z}^{(2)}$кинетическая энергия все время была меньше фиксированной величины $\varepsilon$.

Возникновение размерного квантования иллюстрирует рисунок. В реальном пространстве электроны совершают движение по периодической траектории (Рис. $b$), состоящей из повторяющихся участков, каждый из которых состоит из двух прямолинейных частей с противоположным направлением скорости вдоль нормали к поверхностям пластины, $\operatorname {sgn} \left(v_{z}^{(1)}\right)=-\operatorname {sgn} \left(v_{z}^{(2)}\right)$. В импульсном пространстве при каждом отражении от границы электрон совершает скачки между точками $A\left(p_{z}^{(1)},{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)$ и $B\left(p_{z}^{(2)},{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)$ ($AB\to BA\to AB\to ...$), которые связаны между собой параллельной оси $p_{z}$ хордой изоэнергетической поверхности (Рис.$a$). Согласно общим принципам квантовой механики такому периодическому движению соответствует дискретный энергетический спектр.

Квазиклассические уровни энергии находятся из условия квантования адиабатического инварианта

$I={\frac {1}{2\pi }}\oint {{{p}_{z}}dz=}{\frac {1}{2\pi }}\left|p_{z}^{(1)}-p_{z}^{(2)}\right|L=n\hbar \,,\quad \quad (2)$

где $n=1,2,3...$ . Из уравнения (2) находим

$\Delta {{P}_{z}}=\left|p_{z}^{(1)}-p_{z}^{(2)}\right|={\frac {2\pi n\hbar }{L}}\,.\quad \quad (3)$

Равенство (3) следует рассматривать, как уравнение относительно энергии при фиксированном значении ${{\mathbf {p} }_{\bot }}$, решая которое находим систему квантовых уровней ${{\varepsilon }_{n}}\left({{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)$. Если уравнение (1) имеет несколько пар корней, то существует несколько систем уровней.

В случае сферического закона дисперсии электронов, $\varepsilon ={{\mathbf {p} }^{2}}/2{{m}^{*}}$ ($m^{*}$ — эффективная масса), хорда изоэнергетической поверхности $\Delta {{P}_{z}}=2{\sqrt {2{{m}^{*}}\varepsilon -p_{\bot }^{2}}}$, и квантованные значения энергии равны

${{\varepsilon }_{n}}\left({{p}_{\bot }}\right)={\frac {{{\pi }^{2}}{{\hbar }^{2}}{{n}^{2}}}{2{{m}^{*}}{{L}^{2}}}}+{\frac {p_{\bot }^{2}}{2{{m}^{*}}}}\,.$

Квантовый размерный эффект в гетероструктурах

Типичным примером системы, в которой проявляется квантовый размерный эффект, может служить двойная гетероструктура AlGaAs/GaAs/AlGaAs с двумерным электронным газом, где электроны находящиеся в слое GaAs ограничены высокими потенциальными барьерами AlGaAs, то есть для электронов формируется потенциальная яма, описываемая дном зон проводимости двух материалов, малого размера (обычно порядка 10 нм) и возникают дискретные уровни, которые соответствуют движению электронов поперёк слоя GaAs, хотя продольное движение остаётся свободным. Эти уровни эффективно сдвигают зону проводимости вверх по энергии. В результате изменяется ширина запрещённой зоны GaAs и, соответственно, происходит сдвиг в синюю область края межзонного поглощения. Аналогично, но с большим изменением запрещённой зоны квантовый размерный эффект наблюдается в квантовых точках, где электрон ограничен по всем трём координатам.

Кондактанс квантового контакта

Примером проявления КРЭ является размерное квантование кондактанса (кондактанс — величина, обратная электрическому сопротивлению) квантовых контактов (микросужений, тонких проволок и т. п., соединяющих массивные проводники), диаметр $d$ которых намного меньше длины свободного пробега носителей заряда и сравним с $\lambda _{D}$.

В 1957 году Ландауер показал, что проводимость одномерной проволочки, подсоединенной к массивным металлическим берегам, не зависит от величины энергии Ферми $\varepsilon _{F}$ и при нуле температуры и малых напряжениях равна кванту кондактанса $G_{0}=2e^{2}/h$, где $e$ — заряд электрона, $h$ — постоянная Планка. Если диаметр проволочки сравним с $\lambda _{D}\lesssim d$, энергетический спектр внутри неё дискретен за счет КРЭ, и существует конечное число квантовых уровней $N$, с энергиями $E_{n}<\varepsilon _{F}$ ($n\leqslant N$). Кондактанс $G$ при нуле температур определяется числом $N$ (или, как часто говорят, числом квантовых проводящих мод). Каждая из мод вносит вклад в $G$, равный $G_{0}$, так что полный кондактанс равен $G=NG_{0}$. При фиксированном $N$ величина $G$ не зависит от диаметра проволочки. Энергии $E_{n}$ уменьшаются с увеличением диаметра $d$. С ростом $d$ в какой-то момент новая квантовая мода становится разрешенной (пересекает уровень Ферми), дает вклад в проводимость, а кондактанс скачком увеличивается на величину $G_{0}$.

Эффект квантования кондактанса (ступенчатая зависимость $G(d)$ с шагом, равным одному кванту $G_{0}$) был обнаружен в сужениях, созданных на основе двумерного электронного газа в GaAs-AlGaAs гетероструктурах. Строго говоря, квантование уровней энергии возникает лишь в пределе бесконечно длинного канала, в то время как квантование кондактанса экспериментально наблюдается в сужениях, диаметр которых существенно увеличивается при удалении от их центра. Этот эффект был объяснен в работах, в которых было показано, что если форма 2D контакта адиабатически плавно меняется в масштабе $\lambda _{D}$, то его кондактанс квантуется, а положение ступеней на зависимости $G(d)$ определяется минимальным диаметром сужения.

Эффект квантования кондактанса наблюдается и в трехмерных металлических контактах, создаваемых с помощью сканирующего туннельного микроскопа и методом «разломных контактов» (break-junction). Теоретические исследования показали, что если контакт обладает цилиндрической симметрией, то вследствие вырождения уровней энергии по орбитальному квантовому числу, наряду со ступенями $G_{0}$ должны возникать ступени $3G_{0}$, $5G_{0}$….

Принцип неопределённости

Изменение энергии носителей заряда и появление размерного квантования упрощённо объясняется в квантовой механике и принципом неопределённости. Если частица ограничена в пространстве в пределах расстояния L (допустим ограничен вдоль направления z), неопределённость z-компоненты её импульса возрастает на величину порядка $\hbar /L$. Соответствующее увеличение кинетической энергии частицы даётся выражением $\Delta E=\hbar ^{2}/2m^{*}L^{2}$, где $m^{*}$ — эффективная масса частицы. Кроме увеличения минимальной энергии частицы, квантовый размерный эффект приводит также к квантованию энергии её возбуждённых состояний. Энергии возбуждённых состояний для бесконечного одномерного потенциала прямоугольной ямы выражаются как $E_{n}=\Delta En^{2}$, где n = 1, 2, 3,…

Литература

• Davies, John H. The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (англ.). — 6th reprint. — Cambridge University Press, 2006. — ISBN 0-521-48491-X.
• Размерные эффекты // Пустырник — Румчерод. — М. : Большая российская энциклопедия, 2015. — С. 172—173. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 28). — ISBN 978-5-85270-365-1.
• Комник, Ю. Ф. Физика металлических пленок : Размерные и структурные эффекты. — М. : Атомиздат, 1979. — 363 с.
• Луцкий В. Н., Пинскер Т. Н. Размерное квантование. — М., 1983.
• Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 416 с.
• Демиховский В. Я., Вугальтер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных структур. — М., 2000.

См. также

• Квантово-размерный эффект Штарка