Параметризованный постньютоновский формализм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Общая теория относительности
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Гравитация
Математическая формулировка
Космология
См. также: Портал:Физика

Постнью́тоновский формали́зм (ПН формали́зм) — это вычислительный инструмент, который позволяет получать решения нелинейных уравнений Эйнштейна для движущихся тел как ряды по формальному малому параметру, который ассоциируется с обратной величиной квадрата скорости света (точнее, скорости гравитации) c^{-2}. Первым членом таких рядов оказывается ньютонова теория гравитации, последующие её уточняют. О членах, содержащих скорость света в степени -n, говорят как о членах n/2-ПН порядка, например, гравитационное излучение появляется в 2,5ПН-порядке, то есть его члены впервые появляются при разложении до c^{-5}.

Сходимость рядов постньютоновского формализма представляет собой сложную математическую проблему. Постньютоновский формализм применим в случае слабых гравитационных полей, в сильных полях использование его проблематично из-за проблем сходимости, и обычно используется прямой вычислительный подход интегрирования уравнений Эйнштейна — численная относительность.

Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — это версия ПН формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка c^{-2} (обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации).

История[править | править вики-текст]

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела. Нордтведт (Nordtvedt, 1968, 1969) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса.

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни (Ni, 1972), Уилла и Нордтведта (Will and Nordtvedt, 1972), Мизнера, Торна и Уилера (Charles W. Misner et al., 1973) (Гравитация (книга)), и Уилла (Will, 1981, 1993), и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)[править | править вики-текст]

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение метрической теории гравитации в пределе слабого поля. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности. В обозначениях Уилла (Will, 1971), Ни (Ni, 1972) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973) ППН параметры имеют следующее значение:

\gamma Насколько сильная пространственная кривизна в g_{ij} генерируется единицей массы покоя?
\beta Насколько велика нелинейность в g_{00} при сложении гравитационных полей?
\beta_1 Как много тяготения в g_{00} производится единицей кинетической энергии \textstyle\frac12\rho_0v^2?
\beta_2 Как много тяготения в g_{00} производится единицей гравитационной потенциальной энергии \rho_0/U?
\beta_3 Как много тяготения в g_{00} производится единицей внутренней энергии тела \rho_0\Pi?
\beta_4 Как много тяготения в g_{00} производится единицей давления p?
\zeta Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в g_{00}
\eta Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в g_{00}
\Delta_1 Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в g_{0j} производится единицей импульса \rho_0v?
\Delta_2 Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

g_{\mu\nu} — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы i и j пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

\gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1 и \zeta=\eta=0.

Альфа-зета вариант (Alpha-zeta notation)[править | править вики-текст]

В более современной версии Уилла и Нордтведта (1972), используемой также в работах Уилла (1981, 1993, 2006), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

\gamma=\gamma,
\beta=\beta,
\alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4,
\alpha_2=\Delta_2+\zeta-1,
\alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta,
\zeta_1=\zeta,
\zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1,
\zeta_3=\beta_3-1,
\zeta_4=\beta_4-\gamma,
\xi получается из 3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2.

Смысл параметров \alpha_1, \alpha_2 и \alpha_3 при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира). \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \zeta_4 и \alpha_3 измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

\gamma=\beta=1 и \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\zeta_1=\zeta_2=\zeta_3=\zeta_4=\xi=0.

Вид метрики альфа-зета варианта:

\begin{matrix}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1-2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^3) \end{matrix}
g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i
-\textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;,
g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta_{ij}+O(\varepsilon^2)\;,

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, \varepsilon^2 определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала U, квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), w^i — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, w^2=w^iw^j\delta_{ij} — квадрат этой скорости, а \delta_{ij}=1 если i=j и 0 в противоположном случае — символ Кронекера.

Есть только десять метрических потенциалов: U, U_{ij}, \Phi_W, A, \Phi_1, \Phi_2, \Phi_3, \Phi_4, V_i и W_i, столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например,

U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'.

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973), Уилла (Will, 1981, 1993, 2006) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации[править | править вики-текст]

Примеры анализа можно найти в книге Уилла (1985). Процесс состоит из девяти стадий:

  • Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика g_{\mu\nu}\,, гравитационное скалярное \phi\,, векторное K_\mu\, и/или тензорное поле B_{\mu\nu}\, и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика \eta_{\mu\nu}\,, космологическое время t\, и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.
  • Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем g^{(0)}_{\mu\nu}=\mbox{diag}(-c_0,c_1,c_1,c_1)\,, \phi_0\,, K^{(0)}_\mu\,, B^{(0)}_{\mu\nu}\,.
  • Шаг 3: Вводим новые переменные h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-g^{(0)}_{\mu\nu}\,, а если необходимо, то и \phi-\phi_0\,, K_\mu-K^{(0)}_\mu\,, B_{\mu\nu}-B^{(0)}_{\mu\nu}\,.
  • Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для h_{\mu\nu}\, и прочих динамических гравитационных переменных.
  • Шаг 5: Решаем уравнения для h_{00}\, с точностью до O(2)\,. Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму h_{00}=2\alpha U\,, где U\, — гравитационный потенциал Ньютона, а \alpha\, может быть сложной функцией, включающей гравитационную "постоянную" G\,. Ньютонова метрика имеет форму g_{00}=-c_0+2\alpha U\,, g_{0j}=0\,, g_{ij}=\delta_{ij}c_1\,. Переходим к единицам, в которых гравитационная "постоянная", измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице G_{\mbox{today}} = \alpha/c_0 c_1=1\,.
  • Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем h_{ij}\, с точностью до O(2)\, и h_{0j}\, с точностью до O(3)\,.
  • Шаг 7: Находим h_{00}\, с точностью до O(4)\,. Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.
  • Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.
  • Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику g_{\mu\nu}\, с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации[править | править вики-текст]

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна \mathbf{g}=f\boldsymbol{\eta}\, и поэтому \gamma=-1\,, что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, Yilmaz theory of gravitation, метрика равна \mathbf{g}=f_1\mathbf{d}t \otimes \mathbf{d} t +f_2\boldsymbol{\eta}\, и, следовательно, \alpha_1=-4(\gamma+1)\,, что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них \xi=\beta\,. Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от \xi и \alpha_2, то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение \xi.

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них \alpha_2\, не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения Солнца мы знаем, что \alpha_2 < 4\times 10^{-7}\,, и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении \gamma=\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}\,. Предел \gamma-1<2.3\times10^{-5}\, даёт очень малое 1/\omega\,, которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на \omega\, всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и \alpha_2\, не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и \alpha_2 < 4\times 10^{-7}\,, так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры[править | править вики-текст]

Значения взяты из обзора Уилла (2006)

Параметр Границы Эффекты Эксперимент
\gamma-1 2.3 x 10^{-5} Эффект Шапиро, Отклонение света Траектория «Кассини — Гюйгенса»
\beta-1 2.3 x 10^{-4} Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия Nordtvedt effect
\xi 0.001 Приливы Гравиметрия
\alpha_1 10^{-4} Orbit polarization Лазерная локация Луны
\alpha_2 4 x 10^{-7} Прецессия оси вращения Наклон оси вращения Солнца к эклиптике
\alpha_3 4 x 10^{-20} Самоускорение Статистика замедления пульсаров
\zeta_1 0.02 - Комбинированный предел разных экспериментов
\zeta_2 4 x 10^{-5} Ускорение двойных пульсаров PSR 1913+16
\zeta_3 10^{-8} Третий закон Ньютона Ускорение Луны
\zeta_4 0.006 - Kreuzer experiment

† Will, C.M., Is momentum conserved? A test in the binary system PSR 1913 + 16, Astrophysical Journal, Part 2 - Letters (ISSN 0004-637X), vol. 393, no. 2, July 10, 1992, p. L59-L61.

‡ По 6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3 из работ Уилла (1976, 2006). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел |\zeta_4|< 0.4 из статьи Ни (1972).

Литература[править | править вики-текст]

  • Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973)
  • Уилл К. (1985) Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. (1981)
  • Eddington, A. S. (1922) The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press.
  • Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co.
  • Nordtvedt Jr, K. (1968) Equivalence principle for massive bodies II: Theory, Phys. Rev. 169, 1017-1025.
  • Nordtvedt Jr, K. (1969) Equivalence principle for massive bodies including rotational energy and radiation pressure, Phys. Rev. 180, 1293-1298.
  • Will, C. M. (1971) Theoretical frameworks for testing relativistic gravity II: Parameterized post-Newtonian hydrodynamics and the Nordtvedt effect, Astrophys. J. 163, 611-628.
  • Will, C.M. (1976) Active mass in relativistic gravity: Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment, Astrophys. J., 204, 224-234.
  • Will, C. M. (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6.
  • Will, C. M., (2006) The Confrontation between General Relativity and Experiment
  • Will, C. M., and Nordtvedt Jr., K (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity I, The Astrophysical Journal 177, 757.

См. также[править | править вики-текст]

п·о·р
Теории гравитации
Стандартные теории гравитации Альтернативные теории гравитации Квантовые теории гравитации Единые теории поля
Классическая физика

Релятивистская физика

Принципы

Классические

Релятивистские

Многомерные

Струнные

Прочие