Цилиндр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Цили́ндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

Бесконечное тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью, называется бесконечным цилиндром, ограниченное замкнутым цилиндрическим лучом и его основанием, называется открытым цилиндром. Основание и образующие цилиндрического луча называют соответственно основанием и образующими открытого цилиндра.

Конечное тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя выделившими её сечениями, называется конечным цилиндром, или собственно цилиндром. Сечения называются основаниями цилиндра. По определению конечной цилиндрической поверхности, основания цилиндра равны.

Очевидно, образующие боковой поверхности цилиндра — равные по длине (называемой высотой цилиндра) отрезки, лежащие на параллельных прямых, а концами лежащие на основаниях цилиндра. К математическим курьёзам относят определение любой конечной трёхмерной поверхности без самопересечений как цилиндра нулевой высоты (данную поверхность считают одновременно обоими основаниями конечного цилиндра).

Основания цилиндра качественно влияют на цилиндр:

• если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны) — цилиндр называют стоящим на плоскости;

• если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей — цилиндр называется прямым; в частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра — круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс — то эллиптическом.

Объём прямого цилиндра равен интегралу площади основания по образующей. В частности, объём прямого кругового цилиндра равен

,

(где  — радиус основания,  — высота).

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра считается по следующей формуле:

.

Площадь полной поверхности конечного цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей оснований. Для прямого кругового цилиндра:

.