Цепная линия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Висящая цепь образует цепную линию
Цепная линия при различных значениях параметра

Цепна́я ли́ния  — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение в декартовых координатах:

y = {a \over 2}( e^{x/a}+e^{-x/a} ) = a ~ \operatorname{ch} {x \over a}

(о функции \operatorname{ch} см. Гиперболический косинус).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
  • Длина дуги от вершины до произвольной точки (x; y):
    s = a ~ \operatorname{sh} {x \over a} = \sqrt{y^2-a^2}
  • Радиус кривизны:
    R = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a} = {y^2 \over a}
  • Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:
    S = a^2 \left(\operatorname{sh}{x_2 \over a} - \operatorname{sh}{x_1 \over a}\right) = a \left(\sqrt{y_2^2-a^2} - \sqrt{y_1^2-a^2}\right)

Применения[править | править вики-текст]

Арка[править | править вики-текст]

Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.

На арке в Сент-Луисе написана её формула в футах:

y = -127{,}7^\prime \cdot \operatorname{ch}({x / 127{,}7^\prime}) + 757{,}7^\prime

В метрах это

y = -38{,}92 \cdot \operatorname{ch}({x / 38{,}92}) + 230{,}95

Мосты[править | править вики-текст]

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии[1]. Это связано с тем, что основная нагрузка распределена в пролёте моста, а не в тросах.

История[править | править вики-текст]

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли[2].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Paul Kunkel. Hanging With Galileo (англ.) (HTML). Whistler Alley Mathematics — whistleralley.com. Проверено 24 июля 2012. Архивировано из первоисточника 6 августа 2012.
  2. Д. Р. Меркин, с. 47

Литература[править | править вики-текст]

  • Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 19, § 19. М.-Л.: Гостехиздат, 1955.
  • Меркин Д. Р.  Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука, 1980. — 240 с.