Нормирование (алгебра)

Запрос «Абсолютное значение» перенаправляется сюда; о значении Абсолютная величина см. Абсолютная величина.

Не следует путать с нормой.

Норми́рование — отображение элементов поля $F$ или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле $P$ $x\mapsto \|x\|$, обладающее следующими свойствами:

1) $\|x\|\geqslant 0$ и $\|x\|=0$ только при $x=0$

2) $\|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|$

3) $\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) $\|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)$, то нормирование называется неархимедовым.

Значение $\|x\|$ называется нормой элемента $x$. Если упорядоченное поле $P$ является полем вещественных чисел $\mathbb {R}$, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы $\|\cdot \|_{1}$ и $\|\cdot \|_{2}$ называются эквивалентными, если $\|x\|_{1}<1$ равносильно $\|x\|_{2}<1$.

Примеры нормирований

• Нормирование, при котором $\|0\|=0$, $\|x\|=1$ для остальных $x$. Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел $\mathbb {R}$ и модуль в поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ являются нормированием.
• Пусть $\mathbb {Q}$ — поле рациональных чисел, а $p$ — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, где $a$ и $b$ не кратны $p$. Можно определить следующее нормирование $|x|_{p}=p^{-n}$. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно теореме Островского, любая нетривиальная норма на $\mathbb {Q}$ эквивалентна либо абсолютной величине $|x|$, либо р-адическому нормированию.

Свойства нормы

• $|1|=|-\!1|=1$
• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство ${\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |x-y|$ (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число $A$, такое, что для любой суммы единичных элементов поля $F$:

3b) $\|1+1+...+1\|\leqslant A$

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов $x$ и $y$ из поля $F$ имеем:

$|(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{n-i}\,y^{i}+\ldots +y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}$

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при $n\to \infty$, получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля $F$ как норму разности $\|x-y\|$, мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в $F$.

Пополнение

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле $F$ изоморфно вкладывается в полное нормированное поле $F^{*}$, то есть существует изоморфизм $i:F\rightarrow F^{*}$. Норма в $F^{*}$ продолжает норму в $F$, то есть для каждого $x$ из $F$: $\|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|$, причём $F$ плотно в $F^{*}$ относительно этой нормы. Любое такое поле $F^{*}$ определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на $F$; оно называется пополнением поля $F$.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ с p-адической метрикой является поле p-адических чисел $\mathbb {Q} _{p}$.

Экспоненциальное нормирование

Пусть $v$ — отображение из мультипликативной группы поля $K^{*}$ в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) $v(xy)=v(x)+v(y)$

2) $v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))$

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: $v(0)=\infty$. Групповая операция на $\infty$ определена следующим образом: $a+\infty =\infty +a=\infty$ для любого $a$, $\infty$ упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд и Ленг. Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения $v$ называют группой нормирования, а множество тех элементов $x$ поля $K$, для которых $v(x)\geqslant 0$ — кольцом нормирования (обозначение — $R_{v}$), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.