Условный экстремум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть {G \subset R^n}  — открытое множество и на G заданы функции y_{i} = f_{i}(\vec x), \vec x \in G, i = 1,2,\dots,m. Пусть  E = \lbrace \vec x \in G | \forall i = 1, 2, \dots, m \  f_{i}(\vec x) = 0 \rbrace .

Эти f_{i}(\vec x) = 0 уравнения называют уравнениями связей (терминология заимствованна из механики).


Пусть на G определена функция  y = f_{0}(\vec x). Точка \vec x_{0} \in E называется точкой условного экстремума функции y = f_{0}(\vec x) относительно уравнений связи, если она является точкой обычного экстремума f_{0}(\vec x) на множестве E (рассматриваются окрестности U_{E}(\vec x_{0})\bigcap E ).

Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума[править | править вики-текст]

Теорема[править | править вики-текст]

Пусть \vec x_{0} — точка условного экстремума функции f_{0}(\vec x) при выполнении уравнений связи. Тогда в этой точке \vec x_{0} градиенты \nabla f_{i}, i = 0,1,\dots,m являются линейно зависимыми, то есть \exists \lambda _{i}, i = 0,1,\dots,m\colon \sum^{m}_{i=0} |\lambda _{i}| \ne 0 но \sum^{m}_{i=0} \lambda _{i} \nabla f_{i} = \vec 0.

Следствие[править | править вики-текст]

Если \vec x_{0} — точка условного экстремума функции f_{0}(\vec x) относительно уравнений связи, то \exists \lambda _{1},\dots,\lambda _{m} такие, что в точке \vec x_{0}~~\nabla f_{0} + \lambda _{1} \nabla f_{1} + \dots + \lambda _{m} \nabla f_{m} = \vec 0 или в координатном виде \frac{\partial f_{0}}{\partial x_{i}}(\vec x_{0}) + \lambda _{1}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}}(\vec x_{0}) + \dots + \lambda _{m}\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{i}}(\vec x_{0}) = 0 .

Достаточное условие условного экстремума[править | править вики-текст]

Пусть \vec x_{0} является стационарной точкой функции Лагранжа L(\vec f, \vec  \lambda, \vec x) при  \vec \lambda = \vec \lambda _{0}. Если d^2 L(\vec x_{0}) — отрицательно (положительно) определена квадратическая форма переменных dx_{1},\dots,dx_{n} при условии df_{1}(\vec x_{i}) = 0 , i = 1,\dots, m, то \vec x_{0} является точкой max (min для положительно определенной) условного экстремума. Если она при этих условиях не является знакоопределенной, тогда экстремума нет.

См. также[править | править вики-текст]