Вектор Шепли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме её формирования.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Для кооперативной игры рассмотрим некоторое упорядочение множества игроков . Обозначим через подмножество, содержащее первых игроков в данном упорядочении. Вкладом -го по счету игрока назовем величину , где  — характеристическая функция кооперативной игры.

Вектором Шепли кооперативной игры называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции , при равновероятном возникновении упорядочений:

где  — количество игроков,  — множество упорядочений множества игроков  — распределение выигрыша, в котором игрок, стоящий на месте в упорядочении , получает свой вклад в коалицию (точка Вебера).

Более распространенная формула для вычисления вектора Шепли, не требующая нахождения точек Вебера, имеет вид:

где  — количество игроков,  — количество участников коалиции .

Аксиоматика вектора Шепли[править | править вики-текст]

Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам:

1. Линейность. Отображение представляет собой линейный оператор, то есть для любых двух игр с характеристическими функциями и

и для любой игры с характеристической функцией и для любого

2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра получена из игры перестановкой игроков, то её вектор Шепли есть вектор с соответствующим образом переставленными элементами.

3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, то есть игрок такой, что для любой коалиции , содержащей , выполнено: .

Аксиома болвана состоит в том, что если игрок  — болван, то .

4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, то есть сумма компонент вектора равна .

Теорема Шепли. Для любой кооперативной игры существует единственное распределение выигрыша, удовлетворяющее аксиомам 1 — 4, задаваемое приведенной выше формулой.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики - М.: МГУ, 2005, 272 с.
  2. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
  3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
  4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
  5. Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.

См. также[править | править вики-текст]