Импульс

Импульс
${\vec {p}}=m{\vec {v}}$
Размерность	LMT−1
Единицы измерения
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
векторная величина

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы $m$ этого тела на его скорость ${\vec {v}},$ направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}.$

В релятивистской физике импульс вычисляется как

${\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},$

где $c$ — скорость света в вакууме; в пределе малых $v$ формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон, в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:

${\frac {{\mbox{d}}{\vec {p}}}{{\mbox{d}}t}}={\vec {F}},$

здесь $t$ — время, ${\vec {F}}$ — сила, приложенная к телу.

В записи через импульс (в отличие от ${\vec {F}}=m{\vec {a}},$ ${\vec {a}}$ — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.

История появления термина

Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он предположил, что сохраняется количество движения не только одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1678 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и «минус». В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Формальное абстрактное определение

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).

Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.

В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.

Определения импульса тела в механике

Классическая механика

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

${\vec {p}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}.$

Соответственно, величина ${\vec {p}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}$ называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:

${\vec {p}}=\int \rho (x,y,z){\vec {v}}(x,y,z)dxdydz.$

Стоящее под интегралом произведение ${\vec {s}}=\rho {\vec {v}}$ называют плотностью импульса ($\rho$ — просто плотность).

Релятивистская механика

В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина:

${\vec {p}}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}},$

где $m_{i}$ — масса $i$-й материальной точки, ${\vec {v}}_{i}$ — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой $m$ определяется как:

$p_{\mu }=(E/c,{\vec {p}})=\left({\frac {mc}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right).$

На практике часто применяются соотношения между массой $m$, импульсом $\mathbf {p}$ и энергией $E$ частицы:

$E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad \qquad \mathbf {p} ={\frac {E}{c^{2}}}\,\mathbf {v} .$

Свойства импульса

• Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему.
• Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСО. При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
• Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона, ${\mbox{d}}{\vec {p}}/{\mbox{d}}t={\vec {F}}$).
• Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени: ${\mbox{d}}{\vec {p}}/{\mbox{d}}t=0$ (см. статью Закон сохранения импульса).

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю ${\vec {F}}_{i,ext}$ плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\vec {p}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\sum _{i}\left({\vec {F}}_{i,ext}+\sum _{j,j\neq j}{\vec {F}}_{i,j}\right)=\sum _{i}{\vec {F}}_{i,ext}+\sum _{i}\sum _{j,j\neq i}F_{i,j}.$

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые ${\vec {F}}_{a,b}$ и ${\vec {F}}_{b,a}$ в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульса.

При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии взаимодействия такое суммирование теряет смысл.

Обобщённый импульс

В теоретической механике в целом

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости:

$p_{i}={{\partial {\mathcal {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, может обозначаться буквой ${\vec {p}};$ обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность $q_{i}$ — длина, то $p_{i}$ будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой $q_{i}$ выступает угол (величина безразмерная), то $p_{i}$ обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа $dp_{i}/dt=0.$

Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:

${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$, отсюда: ${\vec {p}}=m{\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$.

Для частицы в электромагнитном поле

В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q\varphi +q{\vec {v}}\cdot {\vec {A}}.$ Соответственно, обобщённый импульс частицы равен (в системе СИ):

$\mathbf {P} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} ,$

где $\mathbf {A}$ — векторный потенциал электромагнитного поля, $q$ — заряд частицы; в выражении для ${\mathcal {L}}$ фигурировал также скалярный потенциал $\varphi$. Этот импульс, обозначенный $\mathbf {P}$ и связанный с обычным как $\mathbf {P} =\mathbf {p} +q\mathbf {A}$, иначе именуется каноническим, он сохраняется при наложении магнитного поля.

Импульс электромагнитного поля

Основная статья: Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму. Для случая вакуума:

$\mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} dV={\frac {1}{c^{2}}}\int [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]dV$ (в системе СИ),

а для среды $c$ заменяется на скорость света $c_{m}$ в данной среде. Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения. Здесь $\mathbf {E}$ и $\mathbf {H}$ — напряжённость электрического и напряжённость магнитного поля.

Импульс в квантовой механике

Определение через оператор

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с каноническим (при отсутствии магнитного поля — обычным) импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

${\hat {\mathbf {P} }}=\sum _{j}{\hat {\mathbf {P} }}_{j}=\sum _{j}-i\hbar \nabla _{j}$,

где $\nabla _{j}$ — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам $j$-ой частицы.

Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

${\hat {H}}=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {\mathbf {P} }}_{i}^{2}+U(\mathbf {r_{1}} ,\dots )$.

Для замкнутой системы (потенциальная энергия $U=0$) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает канонический импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта. Акцентуация того, что импульс «канонический», зачастую избыточна, так как ситуация с присутствием магнитного поля в данном контексте анализируется редко (ниже также подразумевается, что поля нет).

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны $\lambda :$

$p={\frac {h}{\lambda }}$,

где $h$ — постоянная Планка; этот же символ в перечёркнутом виде ($\hbar$) обозначает редуцированную постоянную Планка ($\hbar =h/2\pi$).

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью $v\ll c$, модуль импульса равен $p=mv$ (где $m$ — масса частицы), и

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}$.

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как

${\vec {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}=\hbar {\vec {k}}$,

где ${\vec {k}}$ — волновой вектор.

Как и в классической механике, в квантовой имеет место сохранение импульса в изолированных системах. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс записывается «классически» как $p=mv$, а если проявляются волновые свойства, действует связь $p=h\lambda ^{-1}$. При этом, как и в классической механике, сохранение импульса выступает следствием симметрии относительно сдвигов по координатам.

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа $\rho .$ При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

${\vec {s}}=\rho {\vec {v}}.$

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса.

Если в согласии с методом Рейнольдса представить $\rho ={\overline {\rho }}+\rho ',$ ${\vec {v}}={\overline {\vec {v}}}+{\vec {v}}',$ где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

$\ {\overline {\vec {s}}}={\overline {\rho {\vec {v}}}}={\overline {\rho }}~{\overline {\vec {v}}}+{\vec {S}},$

где $\ {\vec {S}}={\overline {\rho '{\vec {v}}'}}$ — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»).

Импульсное представление в квантовой теории поля

В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных.

См. также

• Импульс силы
• Момент импульса
• Электрический импульс

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
• Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.