Непараметрическая статистика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Непараметрическая статистика — раздел статистики, который не базируется исключительно на параметризованных семействах вероятностных распределений (примером могут служить матожидание и дисперсия). Непараметрическая статистика включает в себя описательную статистику и статистический вывод.

Определения[править | править код]

Статистик Ларри Вассерман сказал: «Сложно дать чёткое определение непараметрической статистике».[1] Термин «непараметрическая статистика» может быть нечётко определён, среди прочих, следующими двумя способами.

  1. Первое значение непараметричности охватывает методы, которые не полагаются на данные, относящиеся к какому-либо конкретному распределению. Среди прочих, они включают в себя:

    Следующие рассуждения взяты из Kendall's.[2]

    Статистические гипотезы обращают внимание на поведение наблюдаемых случайных величин... Например, гипотеза (а) о том, что нормальное распределение имеет определенное матожидание и его дисперсия является статистической; гипотеза (б) - то, что матожидание задано, дисперсия не определена; гипотеза (в) - то, что распределение имеет нормальный вид, матожидание и дисперсия неопределены; наконец, гипотеза (г), два неопределенных непрерывных распределения совпадают.

    Заметим, что в примерах (а) и (б) распределение, лежащее в основе наблюдений, было определено и представляло собой нормальное распределение, а гипотеза была полностью связана со значением одного или обоих ее параметров. Такая гипотеза, по понятным причинам, называется параметрической.

    Гипотеза (в) имеет иной характер, так как в формулировке гипотезы не указаны значения параметров; такую гипотезу можно обоснованно назвать непараметрической. Гипотеза (г) также непараметрическая, но, помимо того, она не определяет даже тип распределения и может быть названа свободной от распределения. Несмотря на эти различия, статистическая литература обычно навешивает ярлык "непараметрический" к методам, которые мы только что назвали "свободными от распределения", тем самым ломая полезную классификацию.

  2. Второе значение непараметричности охватывает методы, которые не предполагают, что структура модели является фиксированной. Как правило, размер модели увеличивается с усложнением данных. В этих методах предполагается, что отдельные переменные принадлежат к параметрическим распределениям, а также делаются предположения о типах связей между переменными. Эти методы включают, среди прочего:
    • непараметрическая регрессия представляет собой моделирование, структура отношений переменных которого рассматривается непараметрически, но при этом могут существовать параметрические предположения о распределении остатков модели.
    • непараметрические иерархические модели Байеса, такие как модели, основанные на процессе Дирихле, которые позволяют количеству скрытых переменных расти по мере необходимости, чтобы соответствовать данным. Однако отдельные переменные могут подчиняться параметрическим распределениям и даже процесс, контролирующий скорость роста скрытых переменных, подчиняется параметрическому распределению.

Цели и применения[править | править код]

Непараметрические методы широко используются для изучения популяций, которые принимают ранжированный порядок (например, обзоры фильмов, которые могут получать от одной до четырех звезд). Использование непараметрических методов может быть необходимым, когда данные имеют ранжирование, но не имеют ясной численной интерпретации, например, при оценке предпочтений. С точки зрения шкал, результатами работы непараметрических методов являются порядковые данные.

Поскольку непараметрические методы делают меньше предположений, сфера их применений гораздо шире, нежели у параметрических методов. В частности, они могут применяться в ситуациях, когда информации о рассматриваемом применении меньше. Кроме того, что они зависят от меньшего числа допущений, непараметрические методы являются более надежными.

Другой мотивацией использования непараметрических методов является простота. В некоторых случаях, даже когда использование параметрических методов оправдано, может быть проще использовать непараметрические методы. Из-за перечисленных выше причин, непараметрические методы рассматриваются некоторыми статистиками как оставляющие меньше возможностей для неправильного использования и недопониманий.

Более широкая применимость и повышенная надежность непараметрических методов обходятся дорого: в тех случаях, когда параметрический метод будет подходящим, непараметрические имеют меньшую статистическую мощность. Другими словами, для того чтобы сделать выводы с той же уверенностью, может потребоваться больший размер выборки.

Непараметрические модели[править | править код]

Непараметрические модели отличаются от параметрических моделей тем, что структура модели не задается а приори, а определяется данными. Термин непараметрический не означает полное отсутствие параметров. Просто их количество и характер гибки и не фиксированы заранее.

Методы[править | править код]

Непараметрические (или свободные от распределения) методы статистического вывода являются математическими процедурами для проверки статистических гипотез, которые, в отличие от параметрической статистики, не делают предположений о вероятностных распределениях оцениваемых переменных. Наиболее часто используемые методы включают

История[править | править код]

Ранняя непараметрическая статистика включает медиану (13-й век или ранее, использование в оценке Эдварда Райта, 1599) и критерий знаков Джона Арбутнота (1710) при анализе соотношения полов человека при рождении.[3]

Примечания[править | править код]

  1. Wasserman (2007), p.1
  2. Stuart A., Ord J.K, Arnold S. (1999), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume 2A—Classical Inference and the Linear Model, sixth edition, §20.2–20.3 (Arnold).
  3. Conover, W.J. (1999), "Chapter 3.4: The Sign Test", Practical Nonparametric Statistics (Third ed.), Wiley, сс. 157–176, ISBN 0-471-16068-7 

Литература[править | править код]

  • Bagdonavicius, V., Kruopis, J., Nikulin, M.S. (2011). "Non-parametric tests for complete data", ISTE & WILEY: London & Hoboken..
  • Corder, G. W. Nonparametric Statistics: A Step-by-Step Approach / G. W. Corder, Foreman. — Wiley, 2014. — ISBN 978-1118840313.
  • Gibbons, Jean Dickinson; Chakraborti, Subhabrata (2003). Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. CRC Press..
  • Hettmansperger, T. P. Robust Nonparametric Statistical Methods / T. P. Hettmansperger, McKean. — First. — London : Edward Arnold, 1998. — Vol. 5. — ISBN 0-340-54937-8. also.
  • Hollander M., Wolfe D.A., Chicken E. (2014). Nonparametric Statistical Methods, John Wiley & Sons.
  • Sheskin, David J. (2003) Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures. CRC Press. ISBN 1-58488-440-1
  • Wasserman, Larry (2007). All of Nonparametric Statistics, Springer..